Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56189 / 19141
↖ ↑ ↗
← N 77.652410°
W 25.672302°		 ← 65.31 m → N 77.652410°
W 25.669555°		 →
↑
65.30 m
↓
↑
65.30 m
↓
N 77.651822°
W 25.672302°		 ← 65.32 m →
4 265 m²		 N 77.651822°
W 25.669555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428691864013672 y=0.146038055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428691864013672 × 217)
    floor (0.428691864013672 × 131072)
    floor (56189.5)     		tx = 56189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146038055419922 × 217)
    floor (0.146038055419922 × 131072)
    floor (19141.5)     		ty = 19141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56189 / 19141 ti = "17/56189/19141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56189/19141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56189 ÷ 217
    56189 ÷ 131072     		x = 0.428688049316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19141 ÷ 217
    19141 ÷ 131072     		y = 0.146034240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428688049316406 × 2 - 1) × π
    -0.142623901367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44806620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146034240722656 × 2 - 1) × π
    0.707931518554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.22403245787251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44806620} λ = -0.44806620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22403245787251))-π/2
    2×atan(9.24453399933888)-π/2
    2×1.46304327392401-π/2
    2.92608654784803-1.57079632675     		φ = 1.35529022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44806620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.672302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35529022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.652410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56189 KachelY 19141 -0.44806620 1.35529022 -25.672302 77.652410
    Oben rechts KachelX + 1 56190 KachelY 19141 -0.44801826 1.35529022 -25.669555 77.652410
    Unten links KachelX 56189 KachelY + 1 19142 -0.44806620 1.35527997 -25.672302 77.651822
    Unten rechts KachelX + 1 56190 KachelY + 1 19142 -0.44801826 1.35527997 -25.669555 77.651822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35529022-1.35527997) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dl = 65.30275000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35529022-1.35527997) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dr = 65.30275000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44806620--0.44801826) × cos(1.35529022) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.213841855347395 × 6371000     		do = 65.3128069124838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44806620--0.44801826) × cos(1.35527997) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.213851868236159 × 6371000     		du = 65.3158651064443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35529022)-sin(1.35527997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213841855347395-0.213851868236159)×R²
    abs(-0.44801826--0.44806620)×1.00128887647044e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.00128887647044e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.00128887647044e-05×40589641000000     		ar = 4265.20575581268m²