Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56186 / 86418
↖ ↑ ↗
← S 49.642735°
W 25.680542°		 ← 197.78 m → S 49.642735°
W 25.677795°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
S 49.644513°
W 25.680542°		 ← 197.77 m →
39 111 m²		 S 49.644513°
W 25.677795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428668975830078 y=0.659320831298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428668975830078 × 217)
    floor (0.428668975830078 × 131072)
    floor (56186.5)     		tx = 56186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659320831298828 × 217)
    floor (0.659320831298828 × 131072)
    floor (86418.5)     		ty = 86418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56186 / 86418 ti = "17/56186/86418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56186/86418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56186 ÷ 217
    56186 ÷ 131072     		x = 0.428665161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86418 ÷ 217
    86418 ÷ 131072     		y = 0.659317016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428665161132812 × 2 - 1) × π
    -0.142669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44821001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659317016601562 × 2 - 1) × π
    -0.318634033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00101833786601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44821001} λ = -0.44821001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00101833786601))-π/2
    2×atan(0.367505006289337)-π/2
    2×0.352183580620869-π/2
    0.704367161241738-1.57079632675     		φ = -0.86642917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44821001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.680542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86642917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.642735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56186 KachelY 86418 -0.44821001 -0.86642917 -25.680542 -49.642735
    Oben rechts KachelX + 1 56187 KachelY 86418 -0.44816207 -0.86642917 -25.677795 -49.642735
    Unten links KachelX 56186 KachelY + 1 86419 -0.44821001 -0.86646021 -25.680542 -49.644513
    Unten rechts KachelX + 1 56187 KachelY + 1 86419 -0.44816207 -0.86646021 -25.677795 -49.644513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86642917--0.86646021) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dl = 197.755839999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86642917--0.86646021) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dr = 197.755839999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44821001--0.44816207) × cos(-0.86642917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647551719106619 × 6371000     		do = 197.778962996281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44821001--0.44816207) × cos(-0.86646021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647528065647216 × 6371000     		du = 197.77173862094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86642917)-sin(-0.86646021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647551719106619-0.647528065647216)×R²
    abs(-0.44816207--0.44821001)×2.36534594023619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36534594023619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36534594023619e-05×40589641000000     		ar = 39111.2306335955m²