Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56186 / 17336
↖ ↑ ↗
← N 78.668926°
W 25.680542°		 ← 60.01 m → N 78.668926°
W 25.677795°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.668386°
W 25.680542°		 ← 60.01 m →
3 602 m²		 N 78.668386°
W 25.677795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428668975830078 y=0.132266998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428668975830078 × 217)
    floor (0.428668975830078 × 131072)
    floor (56186.5)     		tx = 56186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132266998291016 × 217)
    floor (0.132266998291016 × 131072)
    floor (17336.5)     		ty = 17336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56186 / 17336 ti = "17/56186/17336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56186/17336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56186 ÷ 217
    56186 ÷ 131072     		x = 0.428665161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17336 ÷ 217
    17336 ÷ 131072     		y = 0.13226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428665161132812 × 2 - 1) × π
    -0.142669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44821001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13226318359375 × 2 - 1) × π
    0.7354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31055856168671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44821001} λ = -0.44821001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31055856168671))-π/2
    2×atan(10.0800534144998)-π/2
    2×1.47191404933281-π/2
    2.94382809866563-1.57079632675     		φ = 1.37303177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44821001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.680542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37303177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.668926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56186 KachelY 17336 -0.44821001 1.37303177 -25.680542 78.668926
    Oben rechts KachelX + 1 56187 KachelY 17336 -0.44816207 1.37303177 -25.677795 78.668926
    Unten links KachelX 56186 KachelY + 1 17337 -0.44821001 1.37302235 -25.680542 78.668386
    Unten rechts KachelX + 1 56187 KachelY + 1 17337 -0.44816207 1.37302235 -25.677795 78.668386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37303177-1.37302235) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dl = 60.0148200002404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37303177-1.37302235) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dr = 60.0148200002404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44821001--0.44816207) × cos(1.37303177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196477953052181 × 6371000     		do = 60.0094242046083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44821001--0.44816207) × cos(1.37302235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19648718943111 × 6371000     		du = 60.0122452324775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37303177)-sin(1.37302235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196477953052181-0.19648718943111)×R²
    abs(-0.44816207--0.44821001)×9.23637892857876e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.23637892857876e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.23637892857876e-06×40589641000000     		ar = 3601.53944359579m²