Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56182 / 86394
↖ ↑ ↗
← S 49.600030°
W 25.691528°		 ← 197.95 m → S 49.600030°
W 25.688782°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
S 49.601811°
W 25.691528°		 ← 197.95 m →
39 183 m²		 S 49.601811°
W 25.688782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428638458251953 y=0.659137725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428638458251953 × 217)
    floor (0.428638458251953 × 131072)
    floor (56182.5)     		tx = 56182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659137725830078 × 217)
    floor (0.659137725830078 × 131072)
    floor (86394.5)     		ty = 86394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56182 / 86394 ti = "17/56182/86394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56182/86394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56182 ÷ 217
    56182 ÷ 131072     		x = 0.428634643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86394 ÷ 217
    86394 ÷ 131072     		y = 0.659133911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428634643554688 × 2 - 1) × π
    -0.142730712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44840176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659133911132812 × 2 - 1) × π
    -0.318267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.999867852275131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44840176} λ = -0.44840176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999867852275131))-π/2
    2×atan(0.367928058814904)-π/2
    2×0.352556243381305-π/2
    0.705112486762609-1.57079632675     		φ = -0.86568384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44840176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.691528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86568384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.600030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56182 KachelY 86394 -0.44840176 -0.86568384 -25.691528 -49.600030
    Oben rechts KachelX + 1 56183 KachelY 86394 -0.44835382 -0.86568384 -25.688782 -49.600030
    Unten links KachelX 56182 KachelY + 1 86395 -0.44840176 -0.86571491 -25.691528 -49.601811
    Unten rechts KachelX + 1 56183 KachelY + 1 86395 -0.44835382 -0.86571491 -25.688782 -49.601811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86568384--0.86571491) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dl = 197.94697000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86568384--0.86571491) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dr = 197.94697000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44840176--0.44835382) × cos(-0.86568384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648119496677964 × 6371000     		do = 197.952376881165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44840176--0.44835382) × cos(-0.86571491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64809583535923 × 6371000     		du = 197.945150105381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86568384)-sin(-0.86571491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648119496677964-0.64809583535923)×R²
    abs(-0.44835382--0.44840176)×2.36613187338808e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36613187338808e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36613187338808e-05×40589641000000     		ar = 39183.3579519722m²