Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56180 / 14140
↖ ↑ ↗
← N 80.270116°
W 25.697021°		 ← 51.61 m → N 80.270116°
W 25.694275°		 →
↑
51.61 m
↓
↑
51.61 m
↓
N 80.269652°
W 25.697021°		 ← 51.61 m →
2 663 m²		 N 80.269652°
W 25.694275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428623199462891 y=0.107883453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428623199462891 × 217)
    floor (0.428623199462891 × 131072)
    floor (56180.5)     		tx = 56180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107883453369141 × 217)
    floor (0.107883453369141 × 131072)
    floor (14140.5)     		ty = 14140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56180 / 14140 ti = "17/56180/14140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56180/14140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56180 ÷ 217
    56180 ÷ 131072     		x = 0.428619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14140 ÷ 217
    14140 ÷ 131072     		y = 0.107879638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.14276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44849763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107879638671875 × 2 - 1) × π
    0.78424072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46376489287241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44849763} λ = -0.44849763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46376489287241))-π/2
    2×atan(11.7489619601712)-π/2
    2×1.48588706813434-π/2
    2.97177413626868-1.57079632675     		φ = 1.40097781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44849763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.697021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40097781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.270116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56180 KachelY 14140 -0.44849763 1.40097781 -25.697021 80.270116
    Oben rechts KachelX + 1 56181 KachelY 14140 -0.44844970 1.40097781 -25.694275 80.270116
    Unten links KachelX 56180 KachelY + 1 14141 -0.44849763 1.40096971 -25.697021 80.269652
    Unten rechts KachelX + 1 56181 KachelY + 1 14141 -0.44844970 1.40096971 -25.694275 80.269652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40097781-1.40096971) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dl = 51.605100000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40097781-1.40096971) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dr = 51.605100000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44849763--0.44844970) × cos(1.40097781) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.16900347919947 × 6371000     		do = 51.6072454853848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44849763--0.44844970) × cos(1.40096971) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.169011462679107 × 6371000     		du = 51.6096833369331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40097781)-sin(1.40096971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16900347919947-0.169011462679107)×R²
    abs(-0.44844970--0.44849763)×7.98347963673618e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.98347963673618e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.98347963673618e-06×40589641000000     		ar = 2663.25996679528m²