Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5618 / 11847
↖ ↑ ↗
← S 62.339411°
W 56.557617°		 ← 1 134.25 m → S 62.339411°
W 56.535644°		 →
↑
1 134.04 m
↓
↑
1 134.04 m
↓
S 62.349609°
W 56.557617°		 ← 1 133.87 m →
1 286 065 m²		 S 62.349609°
W 56.535644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342926025390625 y=0.723114013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342926025390625 × 214)
    floor (0.342926025390625 × 16384)
    floor (5618.5)     		tx = 5618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723114013671875 × 214)
    floor (0.723114013671875 × 16384)
    floor (11847.5)     		ty = 11847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5618 / 11847 ti = "14/5618/11847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5618/11847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5618 ÷ 214
    5618 ÷ 16384     		x = 0.3428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11847 ÷ 214
    11847 ÷ 16384     		y = 0.72308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98711664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.4461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40167494489044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98711664} λ = -0.98711664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40167494489044))-π/2
    2×atan(0.246184273330351)-π/2
    2×0.24138417924152-π/2
    0.482768358483039-1.57079632675     		φ = -1.08802797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98711664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08802797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.339411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5618 KachelY 11847 -0.98711664 -1.08802797 -56.557617 -62.339411
    Oben rechts KachelX + 1 5619 KachelY 11847 -0.98673314 -1.08802797 -56.535644 -62.339411
    Unten links KachelX 5618 KachelY + 1 11848 -0.98711664 -1.08820597 -56.557617 -62.349609
    Unten rechts KachelX + 1 5619 KachelY + 1 11848 -0.98673314 -1.08820597 -56.535644 -62.349609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08802797--1.08820597) × R
    0.000178000000000011 × 6371000     		dl = 1134.03800000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08802797--1.08820597) × R
    0.000178000000000011 × 6371000     		dr = 1134.03800000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98711664--0.98673314) × cos(-1.08802797) × R
    0.000383499999999981 × 0.464232921336224 × 6371000     		do = 1134.25031569293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98711664--0.98673314) × cos(-1.08820597) × R
    0.000383499999999981 × 0.464075257040907 × 6371000     		du = 1133.86509790997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08802797)-sin(-1.08820597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464232921336224-0.464075257040907)×R²
    abs(-0.98673314--0.98711664)×0.00015766429531705×R²
    0.000383499999999981×0.00015766429531705×6371000²
    0.000383499999999981×0.00015766429531705×40589641000000     		ar = 1286064.53710174m²