Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56176 / 14197
↖ ↑ ↗
← N 80.243622°
W 25.708008°		 ← 51.76 m → N 80.243622°
W 25.705261°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.243156°
W 25.708008°		 ← 51.76 m →
2 678 m²		 N 80.243156°
W 25.705261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428592681884766 y=0.108318328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428592681884766 × 217)
    floor (0.428592681884766 × 131072)
    floor (56176.5)     		tx = 56176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108318328857422 × 217)
    floor (0.108318328857422 × 131072)
    floor (14197.5)     		ty = 14197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56176 / 14197 ti = "17/56176/14197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56176/14197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56176 ÷ 217
    56176 ÷ 131072     		x = 0.4285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14197 ÷ 217
    14197 ÷ 131072     		y = 0.108314514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44868938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108314514160156 × 2 - 1) × π
    0.783370971679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.46103248959406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44868938} λ = -0.44868938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46103248959406))-π/2
    2×atan(11.7169028771121)-π/2
    2×1.48565586412365-π/2
    2.9713117282473-1.57079632675     		φ = 1.40051540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44868938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40051540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.243622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56176 KachelY 14197 -0.44868938 1.40051540 -25.708008 80.243622
    Oben rechts KachelX + 1 56177 KachelY 14197 -0.44864144 1.40051540 -25.705261 80.243622
    Unten links KachelX 56176 KachelY + 1 14198 -0.44868938 1.40050728 -25.708008 80.243156
    Unten rechts KachelX + 1 56177 KachelY + 1 14198 -0.44864144 1.40050728 -25.705261 80.243156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40051540-1.40050728) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40051540-1.40050728) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44868938--0.44864144) × cos(1.40051540) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169459219557097 × 6371000     		do = 51.7572075330748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44868938--0.44864144) × cos(1.40050728) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169467222113576 × 6371000     		du = 51.7596517198092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40051540)-sin(1.40050728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169459219557097-0.169467222113576)×R²
    abs(-0.44864144--0.44868938)×8.00255647859238e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.00255647859238e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.00255647859238e-06×40589641000000     		ar = 2677.59399584398m²