Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56175 / 18009
↖ ↑ ↗
← N 78.299944°
W 25.710755°		 ← 61.94 m → N 78.299944°
W 25.708008°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.299386°
W 25.710755°		 ← 61.94 m →
3 840 m²		 N 78.299386°
W 25.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428585052490234 y=0.137401580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428585052490234 × 217)
    floor (0.428585052490234 × 131072)
    floor (56175.5)     		tx = 56175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137401580810547 × 217)
    floor (0.137401580810547 × 131072)
    floor (18009.5)     		ty = 18009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56175 / 18009 ti = "17/56175/18009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56175/18009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56175 ÷ 217
    56175 ÷ 131072     		x = 0.428581237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18009 ÷ 217
    18009 ÷ 131072     		y = 0.137397766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428581237792969 × 2 - 1) × π
    -0.142837524414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44873732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137397766113281 × 2 - 1) × π
    0.725204467773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.27829702824241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44873732} λ = -0.44873732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27829702824241))-π/2
    2×atan(9.76004516760241)-π/2
    2×1.46869407126629-π/2
    2.93738814253257-1.57079632675     		φ = 1.36659182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44873732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.710755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36659182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.299944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56175 KachelY 18009 -0.44873732 1.36659182 -25.710755 78.299944
    Oben rechts KachelX + 1 56176 KachelY 18009 -0.44868938 1.36659182 -25.708008 78.299944
    Unten links KachelX 56175 KachelY + 1 18010 -0.44873732 1.36658209 -25.710755 78.299386
    Unten rechts KachelX + 1 56176 KachelY + 1 18010 -0.44868938 1.36658209 -25.708008 78.299386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36659182-1.36658209) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dl = 61.9898299995545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36659182-1.36658209) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dr = 61.9898299995545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44873732--0.44868938) × cos(1.36659182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202788259216747 × 6371000     		do = 61.936754134546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44873732--0.44868938) × cos(1.36658209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202797787043152 × 6371000     		du = 61.9396641779766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36659182)-sin(1.36658209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202788259216747-0.202797787043152)×R²
    abs(-0.44868938--0.44873732)×9.52782640570304e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.52782640570304e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.52782640570304e-06×40589641000000     		ar = 3839.53905610307m²