Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56174 / 86362
↖ ↑ ↗
← S 49.543034°
W 25.713501°		 ← 198.14 m → S 49.543034°
W 25.710755°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
S 49.544816°
W 25.713501°		 ← 198.14 m →
39 259 m²		 S 49.544816°
W 25.710755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428577423095703 y=0.658893585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428577423095703 × 217)
    floor (0.428577423095703 × 131072)
    floor (56174.5)     		tx = 56174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658893585205078 × 217)
    floor (0.658893585205078 × 131072)
    floor (86362.5)     		ty = 86362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56174 / 86362 ti = "17/56174/86362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56174/86362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56174 ÷ 217
    56174 ÷ 131072     		x = 0.428573608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86362 ÷ 217
    86362 ÷ 131072     		y = 0.658889770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428573608398438 × 2 - 1) × π
    -0.142852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44878525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658889770507812 × 2 - 1) × π
    -0.317779541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.998333871487289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44878525} λ = -0.44878525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.998333871487289))-π/2
    2×atan(0.368492886495081)-π/2
    2×0.353053635193814-π/2
    0.706107270387628-1.57079632675     		φ = -0.86468906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44878525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.713501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86468906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.543034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56174 KachelY 86362 -0.44878525 -0.86468906 -25.713501 -49.543034
    Oben rechts KachelX + 1 56175 KachelY 86362 -0.44873732 -0.86468906 -25.710755 -49.543034
    Unten links KachelX 56174 KachelY + 1 86363 -0.44878525 -0.86472016 -25.713501 -49.544816
    Unten rechts KachelX + 1 56175 KachelY + 1 86363 -0.44873732 -0.86472016 -25.710755 -49.544816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86468906--0.86472016) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86468906--0.86472016) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44878525--0.44873732) × cos(-0.86468906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648876739287583 × 6371000     		do = 198.142318328759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44878525--0.44873732) × cos(-0.86472016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648853075184734 × 6371000     		du = 198.135092210274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86468906)-sin(-0.86472016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648876739287583-0.648853075184734)×R²
    abs(-0.44873732--0.44878525)×2.36641028492635e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36641028492635e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36641028492635e-05×40589641000000     		ar = 39258.8266017312m²