Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56174 / 19162
↖ ↑ ↗
← N 77.640070°
W 25.713501°		 ← 65.36 m → N 77.640070°
W 25.710755°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.639481°
W 25.713501°		 ← 65.37 m →
4 277 m²		 N 77.639481°
W 25.710755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428577423095703 y=0.146198272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428577423095703 × 217)
    floor (0.428577423095703 × 131072)
    floor (56174.5)     		tx = 56174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146198272705078 × 217)
    floor (0.146198272705078 × 131072)
    floor (19162.5)     		ty = 19162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56174 / 19162 ti = "17/56174/19162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56174/19162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56174 ÷ 217
    56174 ÷ 131072     		x = 0.428573608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19162 ÷ 217
    19162 ÷ 131072     		y = 0.146194458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428573608398438 × 2 - 1) × π
    -0.142852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44878525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146194458007812 × 2 - 1) × π
    0.707611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22302578298048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44878525} λ = -0.44878525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22302578298048))-π/2
    2×atan(9.2352324416811)-π/2
    2×1.46293558637136-π/2
    2.92587117274271-1.57079632675     		φ = 1.35507485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44878525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.713501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35507485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.640070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56174 KachelY 19162 -0.44878525 1.35507485 -25.713501 77.640070
    Oben rechts KachelX + 1 56175 KachelY 19162 -0.44873732 1.35507485 -25.710755 77.640070
    Unten links KachelX 56174 KachelY + 1 19163 -0.44878525 1.35506458 -25.713501 77.639481
    Unten rechts KachelX + 1 56175 KachelY + 1 19163 -0.44873732 1.35506458 -25.710755 77.639481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35507485-1.35506458) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35507485-1.35506458) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44878525--0.44873732) × cos(1.35507485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214052238510479 × 6371000     		do = 65.3634260776442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44878525--0.44873732) × cos(1.35506458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214062270463336 × 6371000     		du = 65.3664894551334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35507485)-sin(1.35506458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214052238510479-0.214062270463336)×R²
    abs(-0.44873732--0.44878525)×1.00319528567039e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00319528567039e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00319528567039e-05×40589641000000     		ar = 4276.84029880626m²