Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56174 / 19158
↖ ↑ ↗
← N 77.642421°
W 25.713501°		 ← 65.35 m → N 77.642421°
W 25.710755°		 →
↑
65.37 m
↓
↑
65.37 m
↓
N 77.641833°
W 25.713501°		 ← 65.35 m →
4 272 m²		 N 77.641833°
W 25.710755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428577423095703 y=0.146167755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428577423095703 × 217)
    floor (0.428577423095703 × 131072)
    floor (56174.5)     		tx = 56174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146167755126953 × 217)
    floor (0.146167755126953 × 131072)
    floor (19158.5)     		ty = 19158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56174 / 19158 ti = "17/56174/19158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56174/19158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56174 ÷ 217
    56174 ÷ 131072     		x = 0.428573608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19158 ÷ 217
    19158 ÷ 131072     		y = 0.146163940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428573608398438 × 2 - 1) × π
    -0.142852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44878525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146163940429688 × 2 - 1) × π
    0.707672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22321753057896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44878525} λ = -0.44878525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22321753057896))-π/2
    2×atan(9.2370034451106)-π/2
    2×1.46295610645127-π/2
    2.92591221290255-1.57079632675     		φ = 1.35511589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44878525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.713501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35511589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.642421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56174 KachelY 19158 -0.44878525 1.35511589 -25.713501 77.642421
    Oben rechts KachelX + 1 56175 KachelY 19158 -0.44873732 1.35511589 -25.710755 77.642421
    Unten links KachelX 56174 KachelY + 1 19159 -0.44878525 1.35510563 -25.713501 77.641833
    Unten rechts KachelX + 1 56175 KachelY + 1 19159 -0.44873732 1.35510563 -25.710755 77.641833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35511589-1.35510563) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dl = 65.3664600002528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35511589-1.35510563) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dr = 65.3664600002528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44878525--0.44873732) × cos(1.35511589) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214012149546536 × 6371000     		do = 65.3511844302339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44878525--0.44873732) × cos(1.35510563) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214022171821317 × 6371000     		du = 65.3542448524063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35511589)-sin(1.35510563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214012149546536-0.214022171821317)×R²
    abs(-0.44873732--0.44878525)×1.0022274781335e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0022274781335e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0022274781335e-05×40589641000000     		ar = 4271.87560753729m²