Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56173 / 19157
↖ ↑ ↗
← N 77.643009°
W 25.716247°		 ← 65.36 m → N 77.643009°
W 25.713501°		 →
↑
65.30 m
↓
↑
65.30 m
↓
N 77.642421°
W 25.716247°		 ← 65.36 m →
4 268 m²		 N 77.642421°
W 25.713501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428569793701172 y=0.146160125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428569793701172 × 217)
    floor (0.428569793701172 × 131072)
    floor (56173.5)     		tx = 56173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146160125732422 × 217)
    floor (0.146160125732422 × 131072)
    floor (19157.5)     		ty = 19157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56173 / 19157 ti = "17/56173/19157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56173/19157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56173 ÷ 217
    56173 ÷ 131072     		x = 0.428565979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19157 ÷ 217
    19157 ÷ 131072     		y = 0.146156311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428565979003906 × 2 - 1) × π
    -0.142868041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44883319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146156311035156 × 2 - 1) × π
    0.707687377929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.22326546747858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44883319} λ = -0.44883319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22326546747858))-π/2
    2×atan(9.23744624903077)-π/2
    2×1.46296123587073-π/2
    2.92592247174146-1.57079632675     		φ = 1.35512614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44883319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.716247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35512614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.643009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56173 KachelY 19157 -0.44883319 1.35512614 -25.716247 77.643009
    Oben rechts KachelX + 1 56174 KachelY 19157 -0.44878525 1.35512614 -25.713501 77.643009
    Unten links KachelX 56173 KachelY + 1 19158 -0.44883319 1.35511589 -25.716247 77.642421
    Unten rechts KachelX + 1 56174 KachelY + 1 19158 -0.44878525 1.35511589 -25.713501 77.642421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35512614-1.35511589) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dl = 65.30275000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35512614-1.35511589) × R
    1.02500000001005e-05 × 6371000     		dr = 65.30275000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44883319--0.44878525) × cos(1.35512614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214002137017558 × 6371000     		do = 65.3617610601262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44883319--0.44878525) × cos(1.35511589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214012149546536 × 6371000     		du = 65.3648191441986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35512614)-sin(1.35511589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214002137017558-0.214012149546536)×R²
    abs(-0.44878525--0.44883319)×1.0012528978004e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0012528978004e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0012528978004e-05×40589641000000     		ar = 4268.4025926838m²