Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56173 / 14184
↖ ↑ ↗
← N 80.249670°
W 25.716247°		 ← 51.73 m → N 80.249670°
W 25.713501°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.249205°
W 25.716247°		 ← 51.73 m →
2 676 m²		 N 80.249205°
W 25.713501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428569793701172 y=0.108219146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428569793701172 × 217)
    floor (0.428569793701172 × 131072)
    floor (56173.5)     		tx = 56173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108219146728516 × 217)
    floor (0.108219146728516 × 131072)
    floor (14184.5)     		ty = 14184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56173 / 14184 ti = "17/56173/14184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56173/14184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56173 ÷ 217
    56173 ÷ 131072     		x = 0.428565979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14184 ÷ 217
    14184 ÷ 131072     		y = 0.10821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428565979003906 × 2 - 1) × π
    -0.142868041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44883319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10821533203125 × 2 - 1) × π
    0.7835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46165566928912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44883319} λ = -0.44883319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46165566928912))-π/2
    2×atan(11.7242068886936)-π/2
    2×1.48570864968426-π/2
    2.97141729936853-1.57079632675     		φ = 1.40062097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44883319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.716247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40062097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.249670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56173 KachelY 14184 -0.44883319 1.40062097 -25.716247 80.249670
    Oben rechts KachelX + 1 56174 KachelY 14184 -0.44878525 1.40062097 -25.713501 80.249670
    Unten links KachelX 56173 KachelY + 1 14185 -0.44883319 1.40061285 -25.716247 80.249205
    Unten rechts KachelX + 1 56174 KachelY + 1 14185 -0.44878525 1.40061285 -25.713501 80.249205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40062097-1.40061285) × R
    8.12000000016688e-06 × 6371000     		dl = 51.7325200010632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40062097-1.40061285) × R
    8.12000000016688e-06 × 6371000     		dr = 51.7325200010632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44883319--0.44878525) × cos(1.40062097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169355175450755 × 6371000     		do = 51.7254297848428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44883319--0.44878525) × cos(1.40061285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169363178152458 × 6371000     		du = 51.7278740159325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40062097)-sin(1.40061285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169355175450755-0.169363178152458)×R²
    abs(-0.44878525--0.44883319)×8.00270170292494e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.00270170292494e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.00270170292494e-06×40589641000000     		ar = 2675.95005403544m²