Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56172 / 44267
↖ ↑ ↗
← N 50.326177°
W 25.718994°		 ← 194.99 m → N 50.326177°
W 25.716247°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 50.324423°
W 25.718994°		 ← 195 m →
38 027 m²		 N 50.324423°
W 25.716247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428562164306641 y=0.337734222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428562164306641 × 217)
    floor (0.428562164306641 × 131072)
    floor (56172.5)     		tx = 56172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337734222412109 × 217)
    floor (0.337734222412109 × 131072)
    floor (44267.5)     		ty = 44267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56172 / 44267 ti = "17/56172/44267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56172/44267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56172 ÷ 217
    56172 ÷ 131072     		x = 0.428558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44267 ÷ 217
    44267 ÷ 131072     		y = 0.337730407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.14288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44888113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337730407714844 × 2 - 1) × π
    0.324539184570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.01956991801897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44888113} λ = -0.44888113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01956991801897))-π/2
    2×atan(2.7720023193093)-π/2
    2×1.22457690100132-π/2
    2.44915380200264-1.57079632675     		φ = 0.87835748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44888113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.718994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87835748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.326177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56172 KachelY 44267 -0.44888113 0.87835748 -25.718994 50.326177
    Oben rechts KachelX + 1 56173 KachelY 44267 -0.44883319 0.87835748 -25.716247 50.326177
    Unten links KachelX 56172 KachelY + 1 44268 -0.44888113 0.87832687 -25.718994 50.324423
    Unten rechts KachelX + 1 56173 KachelY + 1 44268 -0.44883319 0.87832687 -25.716247 50.324423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87835748-0.87832687) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87835748-0.87832687) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44888113--0.44883319) × cos(0.87835748) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638416238176812 × 6371000     		do = 194.988751973267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44888113--0.44883319) × cos(0.87832687) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638439798128602 × 6371000     		du = 194.995947788977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87835748)-sin(0.87832687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638416238176812-0.638439798128602)×R²
    abs(-0.44883319--0.44888113)×2.3559951789931e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3559951789931e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3559951789931e-05×40589641000000     		ar = 38026.6885551552m²