Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56172 / 14186
↖ ↑ ↗
← N 80.248740°
W 25.718994°		 ← 51.73 m → N 80.248740°
W 25.716247°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.248275°
W 25.718994°		 ← 51.73 m →
2 676 m²		 N 80.248275°
W 25.716247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428562164306641 y=0.108234405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428562164306641 × 217)
    floor (0.428562164306641 × 131072)
    floor (56172.5)     		tx = 56172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108234405517578 × 217)
    floor (0.108234405517578 × 131072)
    floor (14186.5)     		ty = 14186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56172 / 14186 ti = "17/56172/14186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56172/14186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56172 ÷ 217
    56172 ÷ 131072     		x = 0.428558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14186 ÷ 217
    14186 ÷ 131072     		y = 0.108230590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.14288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44888113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108230590820312 × 2 - 1) × π
    0.783538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46155979548988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44888113} λ = -0.44888113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46155979548988))-π/2
    2×atan(11.7230828983176)-π/2
    2×1.48570053093878-π/2
    2.97140106187756-1.57079632675     		φ = 1.40060474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44888113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.718994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40060474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.248740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56172 KachelY 14186 -0.44888113 1.40060474 -25.718994 80.248740
    Oben rechts KachelX + 1 56173 KachelY 14186 -0.44883319 1.40060474 -25.716247 80.248740
    Unten links KachelX 56172 KachelY + 1 14187 -0.44888113 1.40059662 -25.718994 80.248275
    Unten rechts KachelX + 1 56173 KachelY + 1 14187 -0.44883319 1.40059662 -25.716247 80.248275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40060474-1.40059662) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40060474-1.40059662) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44888113--0.44883319) × cos(1.40060474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169371170987471 × 6371000     		do = 51.7303152335408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44888113--0.44883319) × cos(1.40059662) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169379173666853 × 6371000     		du = 51.7327594578131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40060474)-sin(1.40059662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169371170987471-0.169379173666853)×R²
    abs(-0.44883319--0.44888113)×8.00267938219634e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.00267938219634e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.00267938219634e-06×40589641000000     		ar = 2676.20279041577m²