Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56171 / 19154
↖ ↑ ↗
← N 77.644772°
W 25.721740°		 ← 65.34 m → N 77.644772°
W 25.718994°		 →
↑
65.37 m
↓
↑
65.37 m
↓
N 77.644184°
W 25.721740°		 ← 65.34 m →
4 271 m²		 N 77.644184°
W 25.718994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428554534912109 y=0.146137237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428554534912109 × 217)
    floor (0.428554534912109 × 131072)
    floor (56171.5)     		tx = 56171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146137237548828 × 217)
    floor (0.146137237548828 × 131072)
    floor (19154.5)     		ty = 19154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56171 / 19154 ti = "17/56171/19154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56171/19154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56171 ÷ 217
    56171 ÷ 131072     		x = 0.428550720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19154 ÷ 217
    19154 ÷ 131072     		y = 0.146133422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428550720214844 × 2 - 1) × π
    -0.142898559570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44892906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146133422851562 × 2 - 1) × π
    0.707733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22340927817744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44892906} λ = -0.44892906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22340927817744))-π/2
    2×atan(9.23877478815831)-π/2
    2×1.46297662268803-π/2
    2.92595324537607-1.57079632675     		φ = 1.35515692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44892906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.721740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35515692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.644772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56171 KachelY 19154 -0.44892906 1.35515692 -25.721740 77.644772
    Oben rechts KachelX + 1 56172 KachelY 19154 -0.44888113 1.35515692 -25.718994 77.644772
    Unten links KachelX 56171 KachelY + 1 19155 -0.44892906 1.35514666 -25.721740 77.644184
    Unten rechts KachelX + 1 56172 KachelY + 1 19155 -0.44888113 1.35514666 -25.718994 77.644184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35515692-1.35514666) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dl = 65.3664600002528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35515692-1.35514666) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dr = 65.3664600002528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44892906--0.44888113) × cos(1.35515692) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.213972069990534 × 6371000     		do = 65.3389456555758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44892906--0.44888113) × cos(1.35514666) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.213982092355401 × 6371000     		du = 65.3420061052571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35515692)-sin(1.35514666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213972069990534-0.213982092355401)×R²
    abs(-0.44888113--0.44892906)×1.00223648672182e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.00223648672182e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.00223648672182e-05×40589641000000     		ar = 4271.07560316789m²