Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56171 / 14187
↖ ↑ ↗
← N 80.248275°
W 25.721740°		 ← 51.72 m → N 80.248275°
W 25.718994°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.247810°
W 25.721740°		 ← 51.72 m →
2 676 m²		 N 80.247810°
W 25.718994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428554534912109 y=0.108242034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428554534912109 × 217)
    floor (0.428554534912109 × 131072)
    floor (56171.5)     		tx = 56171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108242034912109 × 217)
    floor (0.108242034912109 × 131072)
    floor (14187.5)     		ty = 14187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56171 / 14187 ti = "17/56171/14187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56171/14187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56171 ÷ 217
    56171 ÷ 131072     		x = 0.428550720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14187 ÷ 217
    14187 ÷ 131072     		y = 0.108238220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428550720214844 × 2 - 1) × π
    -0.142898559570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44892906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108238220214844 × 2 - 1) × π
    0.783523559570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.46151185859026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44892906} λ = -0.44892906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46151185859026))-π/2
    2×atan(11.7225209435387)-π/2
    2×1.48569647127836-π/2
    2.97139294255671-1.57079632675     		φ = 1.40059662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44892906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.721740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40059662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.248275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56171 KachelY 14187 -0.44892906 1.40059662 -25.721740 80.248275
    Oben rechts KachelX + 1 56172 KachelY 14187 -0.44888113 1.40059662 -25.718994 80.248275
    Unten links KachelX 56171 KachelY + 1 14188 -0.44892906 1.40058850 -25.721740 80.247810
    Unten rechts KachelX + 1 56172 KachelY + 1 14188 -0.44888113 1.40058850 -25.718994 80.247810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40059662-1.40058850) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40059662-1.40058850) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44892906--0.44888113) × cos(1.40059662) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.169379173666853 × 6371000     		do = 51.7219683106045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44892906--0.44888113) × cos(1.40058850) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.169387176335067 × 6371000     		du = 51.7244120216158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40059662)-sin(1.40058850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169379173666853-0.169387176335067)×R²
    abs(-0.44888113--0.44892906)×8.00266821426865e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.00266821426865e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.00266821426865e-06×40589641000000     		ar = 2675.77096973413m²