Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56170 / 14203
↖ ↑ ↗
← N 80.240828°
W 25.724487°		 ← 51.77 m → N 80.240828°
W 25.721740°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.240363°
W 25.724487°		 ← 51.77 m →
2 678 m²		 N 80.240363°
W 25.721740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428546905517578 y=0.108364105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428546905517578 × 217)
    floor (0.428546905517578 × 131072)
    floor (56170.5)     		tx = 56170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108364105224609 × 217)
    floor (0.108364105224609 × 131072)
    floor (14203.5)     		ty = 14203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56170 / 14203 ti = "17/56170/14203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56170/14203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56170 ÷ 217
    56170 ÷ 131072     		x = 0.428543090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14203 ÷ 217
    14203 ÷ 131072     		y = 0.108360290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428543090820312 × 2 - 1) × π
    -0.142913818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44897700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108360290527344 × 2 - 1) × π
    0.783279418945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.46074486819634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44897700} λ = -0.44897700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46074486819634))-π/2
    2×atan(11.7135333297298)-π/2
    2×1.48563149062076-π/2
    2.97126298124152-1.57079632675     		φ = 1.40046665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44897700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.724487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40046665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.240828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56170 KachelY 14203 -0.44897700 1.40046665 -25.724487 80.240828
    Oben rechts KachelX + 1 56171 KachelY 14203 -0.44892906 1.40046665 -25.721740 80.240828
    Unten links KachelX 56170 KachelY + 1 14204 -0.44897700 1.40045853 -25.724487 80.240363
    Unten rechts KachelX + 1 56171 KachelY + 1 14204 -0.44892906 1.40045853 -25.721740 80.240363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40046665-1.40045853) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40046665-1.40045853) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44897700--0.44892906) × cos(1.40046665) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169507264294221 × 6371000     		do = 51.771881632464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44897700--0.44892906) × cos(1.40045853) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169515266783608 × 6371000     		du = 51.7743257987068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40046665)-sin(1.40045853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169507264294221-0.169515266783608)×R²
    abs(-0.44892906--0.44897700)×8.0024893870656e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.0024893870656e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.0024893870656e-06×40589641000000     		ar = 2678.35312333908m²