Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56170 / 14202
↖ ↑ ↗
← N 80.241294°
W 25.724487°		 ← 51.77 m → N 80.241294°
W 25.721740°		 →
↑
51.80 m
↓
↑
51.80 m
↓
N 80.240828°
W 25.724487°		 ← 51.77 m →
2 682 m²		 N 80.240828°
W 25.721740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428546905517578 y=0.108356475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428546905517578 × 217)
    floor (0.428546905517578 × 131072)
    floor (56170.5)     		tx = 56170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108356475830078 × 217)
    floor (0.108356475830078 × 131072)
    floor (14202.5)     		ty = 14202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56170 / 14202 ti = "17/56170/14202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56170/14202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56170 ÷ 217
    56170 ÷ 131072     		x = 0.428543090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14202 ÷ 217
    14202 ÷ 131072     		y = 0.108352661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428543090820312 × 2 - 1) × π
    -0.142913818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44897700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108352661132812 × 2 - 1) × π
    0.783294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46079280509596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44897700} λ = -0.44897700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46079280509596))-π/2
    2×atan(11.71409485366)-π/2
    2×1.48563555335104-π/2
    2.97127110670209-1.57079632675     		φ = 1.40047478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44897700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.724487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40047478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.241294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56170 KachelY 14202 -0.44897700 1.40047478 -25.724487 80.241294
    Oben rechts KachelX + 1 56171 KachelY 14202 -0.44892906 1.40047478 -25.721740 80.241294
    Unten links KachelX 56170 KachelY + 1 14203 -0.44897700 1.40046665 -25.724487 80.240828
    Unten rechts KachelX + 1 56171 KachelY + 1 14203 -0.44892906 1.40046665 -25.721740 80.240828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40047478-1.40046665) × R
    8.12999999988406e-06 × 6371000     		dl = 51.7962299992614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40047478-1.40046665) × R
    8.12999999988406e-06 × 6371000     		dr = 51.7962299992614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44897700--0.44892906) × cos(1.40047478) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169499251938354 × 6371000     		do = 51.7694344527443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44897700--0.44892906) × cos(1.40046665) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169507264294221 × 6371000     		du = 51.771881632464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40047478)-sin(1.40046665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169499251938354-0.169507264294221)×R²
    abs(-0.44892906--0.44897700)×8.01235586650462e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.01235586650462e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.01235586650462e-06×40589641000000     		ar = 2681.52491121028m²