Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56169 / 14199
↖ ↑ ↗
← N 80.242691°
W 25.727234°		 ← 51.76 m → N 80.242691°
W 25.724487°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.242225°
W 25.727234°		 ← 51.76 m →
2 678 m²		 N 80.242225°
W 25.724487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428539276123047 y=0.108333587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428539276123047 × 217)
    floor (0.428539276123047 × 131072)
    floor (56169.5)     		tx = 56169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108333587646484 × 217)
    floor (0.108333587646484 × 131072)
    floor (14199.5)     		ty = 14199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56169 / 14199 ti = "17/56169/14199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56169/14199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56169 ÷ 217
    56169 ÷ 131072     		x = 0.428535461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14199 ÷ 217
    14199 ÷ 131072     		y = 0.108329772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428535461425781 × 2 - 1) × π
    -0.142929077148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44902494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108329772949219 × 2 - 1) × π
    0.783340454101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.46093661579482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44902494} λ = -0.44902494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46093661579482))-π/2
    2×atan(11.7157795869658)-π/2
    2×1.48564774039033-π/2
    2.97129548078067-1.57079632675     		φ = 1.40049915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44902494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.727234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40049915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.242691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56169 KachelY 14199 -0.44902494 1.40049915 -25.727234 80.242691
    Oben rechts KachelX + 1 56170 KachelY 14199 -0.44897700 1.40049915 -25.724487 80.242691
    Unten links KachelX 56169 KachelY + 1 14200 -0.44902494 1.40049103 -25.727234 80.242225
    Unten rechts KachelX + 1 56170 KachelY + 1 14200 -0.44897700 1.40049103 -25.724487 80.242225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40049915-1.40049103) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40049915-1.40049103) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44902494--0.44897700) × cos(1.40049915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169475234514225 × 6371000     		do = 51.7620989131468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44902494--0.44897700) × cos(1.40049103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169483237048342 × 6371000     		du = 51.7645430930513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40049915)-sin(1.40049103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169475234514225-0.169483237048342)×R²
    abs(-0.44897700--0.44902494)×8.0025341168688e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.0025341168688e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.0025341168688e-06×40589641000000     		ar = 2677.84703898735m²