Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56168 / 14200
↖ ↑ ↗
← N 80.242225°
W 25.729981°		 ← 51.76 m → N 80.242225°
W 25.727234°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.241760°
W 25.729981°		 ← 51.77 m →
2 678 m²		 N 80.241760°
W 25.727234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428531646728516 y=0.108341217041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428531646728516 × 217)
    floor (0.428531646728516 × 131072)
    floor (56168.5)     		tx = 56168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108341217041016 × 217)
    floor (0.108341217041016 × 131072)
    floor (14200.5)     		ty = 14200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56168 / 14200 ti = "17/56168/14200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56168/14200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56168 ÷ 217
    56168 ÷ 131072     		x = 0.42852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14200 ÷ 217
    14200 ÷ 131072     		y = 0.10833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.1429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44907288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10833740234375 × 2 - 1) × π
    0.7833251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4608886788952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44907288} λ = -0.44907288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4608886788952))-π/2
    2×atan(11.7152179822767)-π/2
    2×1.48564367823582-π/2
    2.97128735647164-1.57079632675     		φ = 1.40049103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44907288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.729981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40049103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.242225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56168 KachelY 14200 -0.44907288 1.40049103 -25.729981 80.242225
    Oben rechts KachelX + 1 56169 KachelY 14200 -0.44902494 1.40049103 -25.727234 80.242225
    Unten links KachelX 56168 KachelY + 1 14201 -0.44907288 1.40048291 -25.729981 80.241760
    Unten rechts KachelX + 1 56169 KachelY + 1 14201 -0.44902494 1.40048291 -25.727234 80.241760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40049103-1.40048291) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40049103-1.40048291) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44907288--0.44902494) × cos(1.40049103) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169483237048342 × 6371000     		do = 51.7645430931113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44907288--0.44902494) × cos(1.40048291) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169491239571284 × 6371000     		du = 51.7669872696027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40049103)-sin(1.40048291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169483237048342-0.169491239571284)×R²
    abs(-0.44902494--0.44907288)×8.00252294208548e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.00252294208548e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.00252294208548e-06×40589641000000     		ar = 2677.97348257517m²