Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56167 / 86698
↖ ↑ ↗
← S 50.138185°
W 25.732727°		 ← 195.72 m → S 50.138185°
W 25.729981°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
S 50.139946°
W 25.732727°		 ← 195.71 m →
38 317 m²		 S 50.139946°
W 25.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428524017333984 y=0.661457061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428524017333984 × 217)
    floor (0.428524017333984 × 131072)
    floor (56167.5)     		tx = 56167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661457061767578 × 217)
    floor (0.661457061767578 × 131072)
    floor (86698.5)     		ty = 86698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56167 / 86698 ti = "17/56167/86698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56167/86698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56167 ÷ 217
    56167 ÷ 131072     		x = 0.428520202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86698 ÷ 217
    86698 ÷ 131072     		y = 0.661453247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428520202636719 × 2 - 1) × π
    -0.142959594726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.44912081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661453247070312 × 2 - 1) × π
    -0.322906494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01444066975963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44912081} λ = -0.44912081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01444066975963))-π/2
    2×atan(0.362605189170108)-π/2
    2×0.347859956783782-π/2
    0.695719913567565-1.57079632675     		φ = -0.87507641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44912081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.732727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87507641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.138185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56167 KachelY 86698 -0.44912081 -0.87507641 -25.732727 -50.138185
    Oben rechts KachelX + 1 56168 KachelY 86698 -0.44907288 -0.87507641 -25.729981 -50.138185
    Unten links KachelX 56167 KachelY + 1 86699 -0.44912081 -0.87510714 -25.732727 -50.139946
    Unten rechts KachelX + 1 56168 KachelY + 1 86699 -0.44907288 -0.87510714 -25.729981 -50.139946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87507641--0.87510714) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87507641--0.87510714) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44912081--0.44907288) × cos(-0.87507641) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.64093820829315 × 6371000     		do = 195.718192388852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44912081--0.44907288) × cos(-0.87510714) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.640914619873658 × 6371000     		du = 195.710989381192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87507641)-sin(-0.87510714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64093820829315-0.640914619873658)×R²
    abs(-0.44907288--0.44912081)×2.35884194921265e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35884194921265e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35884194921265e-05×40589641000000     		ar = 38317.1650497449m²