Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56166 / 43206
↖ ↑ ↗
← N 52.150344°
W 25.735474°		 ← 187.41 m → N 52.150344°
W 25.732727°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
N 52.148659°
W 25.735474°		 ← 187.41 m →
35 115 m²		 N 52.148659°
W 25.732727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428516387939453 y=0.329639434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428516387939453 × 217)
    floor (0.428516387939453 × 131072)
    floor (56166.5)     		tx = 56166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329639434814453 × 217)
    floor (0.329639434814453 × 131072)
    floor (43206.5)     		ty = 43206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56166 / 43206 ti = "17/56166/43206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56166/43206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56166 ÷ 217
    56166 ÷ 131072     		x = 0.428512573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43206 ÷ 217
    43206 ÷ 131072     		y = 0.329635620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428512573242188 × 2 - 1) × π
    -0.142974853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44916875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329635620117188 × 2 - 1) × π
    0.340728759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07043096851585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44916875} λ = -0.44916875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07043096851585))-π/2
    2×atan(2.9166362075345)-π/2
    2×1.24049576805328-π/2
    2.48099153610657-1.57079632675     		φ = 0.91019521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44916875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.735474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91019521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.150344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56166 KachelY 43206 -0.44916875 0.91019521 -25.735474 52.150344
    Oben rechts KachelX + 1 56167 KachelY 43206 -0.44912081 0.91019521 -25.732727 52.150344
    Unten links KachelX 56166 KachelY + 1 43207 -0.44916875 0.91016580 -25.735474 52.148659
    Unten rechts KachelX + 1 56167 KachelY + 1 43207 -0.44912081 0.91016580 -25.732727 52.148659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91019521-0.91016580) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91019521-0.91016580) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44916875--0.44912081) × cos(0.91019521) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613591618770778 × 6371000     		do = 187.406674220957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44916875--0.44912081) × cos(0.91016580) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613614841333546 × 6371000     		du = 187.413766989375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91019521)-sin(0.91016580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613591618770778-0.613614841333546)×R²
    abs(-0.44912081--0.44916875)×2.32225627677662e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32225627677662e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32225627677662e-05×40589641000000     		ar = 35115.2610627964m²