Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56165 / 86702
↖ ↑ ↗
← S 50.145226°
W 25.738220°		 ← 195.73 m → S 50.145226°
W 25.735474°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
S 50.146986°
W 25.738220°		 ← 195.72 m →
38 307 m²		 S 50.146986°
W 25.735474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428508758544922 y=0.661487579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428508758544922 × 217)
    floor (0.428508758544922 × 131072)
    floor (56165.5)     		tx = 56165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661487579345703 × 217)
    floor (0.661487579345703 × 131072)
    floor (86702.5)     		ty = 86702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56165 / 86702 ti = "17/56165/86702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56165/86702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56165 ÷ 217
    56165 ÷ 131072     		x = 0.428504943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86702 ÷ 217
    86702 ÷ 131072     		y = 0.661483764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428504943847656 × 2 - 1) × π
    -0.142990112304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44921669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661483764648438 × 2 - 1) × π
    -0.322967529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01463241735811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44921669} λ = -0.44921669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01463241735811))-π/2
    2×atan(0.362535667161441)-π/2
    2×0.347798512125014-π/2
    0.695597024250028-1.57079632675     		φ = -0.87519930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44921669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.738220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87519930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.145226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56165 KachelY 86702 -0.44921669 -0.87519930 -25.738220 -50.145226
    Oben rechts KachelX + 1 56166 KachelY 86702 -0.44916875 -0.87519930 -25.735474 -50.145226
    Unten links KachelX 56165 KachelY + 1 86703 -0.44921669 -0.87523002 -25.738220 -50.146986
    Unten rechts KachelX + 1 56166 KachelY + 1 86703 -0.44916875 -0.87523002 -25.735474 -50.146986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87519930--0.87523002) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dl = 195.717120000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87519930--0.87523002) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dr = 195.717120000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44921669--0.44916875) × cos(-0.87519930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640843874013988 × 6371000     		do = 195.730214445061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44921669--0.44916875) × cos(-0.87523002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640820290851182 × 6371000     		du = 195.723011540109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87519930)-sin(-0.87523002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640843874013988-0.640820290851182)×R²
    abs(-0.44916875--0.44921669)×2.3583162805485e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3583162805485e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3583162805485e-05×40589641000000     		ar = 38307.0490053216m²