Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56164 / 14169
↖ ↑ ↗
← N 80.256645°
W 25.740967°		 ← 51.68 m → N 80.256645°
W 25.738220°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.256180°
W 25.740967°		 ← 51.68 m →
2 670 m²		 N 80.256180°
W 25.738220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428501129150391 y=0.108104705810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428501129150391 × 217)
    floor (0.428501129150391 × 131072)
    floor (56164.5)     		tx = 56164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108104705810547 × 217)
    floor (0.108104705810547 × 131072)
    floor (14169.5)     		ty = 14169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56164 / 14169 ti = "17/56164/14169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56164/14169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56164 ÷ 217
    56164 ÷ 131072     		x = 0.428497314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14169 ÷ 217
    14169 ÷ 131072     		y = 0.108100891113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.14300537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44926462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108100891113281 × 2 - 1) × π
    0.783798217773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.46237472278342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44926462} λ = -0.44926462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46237472278342))-π/2
    2×atan(11.7326402522812)-π/2
    2×1.48576951582909-π/2
    2.97153903165818-1.57079632675     		φ = 1.40074270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44926462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40074270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.256645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56164 KachelY 14169 -0.44926462 1.40074270 -25.740967 80.256645
    Oben rechts KachelX + 1 56165 KachelY 14169 -0.44921669 1.40074270 -25.738220 80.256645
    Unten links KachelX 56164 KachelY + 1 14170 -0.44926462 1.40073459 -25.740967 80.256180
    Unten rechts KachelX + 1 56165 KachelY + 1 14170 -0.44921669 1.40073459 -25.738220 80.256180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40074270-1.40073459) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40074270-1.40073459) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44926462--0.44921669) × cos(1.40074270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169235202575849 × 6371000     		do = 51.6780050060541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44926462--0.44921669) × cos(1.40073459) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169243195589152 × 6371000     		du = 51.6804457688221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40074270)-sin(1.40073459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169235202575849-0.169243195589152)×R²
    abs(-0.44921669--0.44926462)×7.99301330292601e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.99301330292601e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.99301330292601e-06×40589641000000     		ar = 2670.2040773926m²