Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56163 / 29433
↖ ↑ ↗
← N 69.906724°
W 25.743713°		 ← 104.93 m → N 69.906724°
W 25.740967°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
N 69.905780°
W 25.743713°		 ← 104.93 m →
11 010 m²		 N 69.905780°
W 25.740967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428493499755859 y=0.224559783935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428493499755859 × 217)
    floor (0.428493499755859 × 131072)
    floor (56163.5)     		tx = 56163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224559783935547 × 217)
    floor (0.224559783935547 × 131072)
    floor (29433.5)     		ty = 29433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56163 / 29433 ti = "17/56163/29433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56163/29433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56163 ÷ 217
    56163 ÷ 131072     		x = 0.428489685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29433 ÷ 217
    29433 ÷ 131072     		y = 0.224555969238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428489685058594 × 2 - 1) × π
    -0.143020629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44931256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224555969238281 × 2 - 1) × π
    0.550888061523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.73066588698289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44931256} λ = -0.44931256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73066588698289))-π/2
    2×atan(5.64441119726695)-π/2
    2×1.39544941297107-π/2
    2.79089882594214-1.57079632675     		φ = 1.22010250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44931256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.743713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22010250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.906724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56163 KachelY 29433 -0.44931256 1.22010250 -25.743713 69.906724
    Oben rechts KachelX + 1 56164 KachelY 29433 -0.44926462 1.22010250 -25.740967 69.906724
    Unten links KachelX 56163 KachelY + 1 29434 -0.44931256 1.22008603 -25.743713 69.905780
    Unten rechts KachelX + 1 56164 KachelY + 1 29434 -0.44926462 1.22008603 -25.740967 69.905780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22010250-1.22008603) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22010250-1.22008603) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44931256--0.44926462) × cos(1.22010250) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343549486826979 × 6371000     		do = 104.928856240803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44931256--0.44926462) × cos(1.22008603) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343564954326834 × 6371000     		du = 104.933580413392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22010250)-sin(1.22008603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343549486826979-0.343564954326834)×R²
    abs(-0.44926462--0.44931256)×1.54674998550375e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54674998550375e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54674998550375e-05×40589641000000     		ar = 11010.4715639165m²