Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56161 / 44534
↖ ↑ ↗
← N 49.855693°
W 25.749206°		 ← 196.87 m → N 49.855693°
W 25.746460°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
N 49.853922°
W 25.749206°		 ← 196.88 m →
38 770 m²		 N 49.853922°
W 25.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428478240966797 y=0.339771270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428478240966797 × 217)
    floor (0.428478240966797 × 131072)
    floor (56161.5)     		tx = 56161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339771270751953 × 217)
    floor (0.339771270751953 × 131072)
    floor (44534.5)     		ty = 44534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56161 / 44534 ti = "17/56161/44534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56161/44534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56161 ÷ 217
    56161 ÷ 131072     		x = 0.428474426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44534 ÷ 217
    44534 ÷ 131072     		y = 0.339767456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428474426269531 × 2 - 1) × π
    -0.143051147460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.44940843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339767456054688 × 2 - 1) × π
    0.320465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00677076582042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44940843} λ = -0.44940843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00677076582042))-π/2
    2×atan(2.7367491264785)-π/2
    2×1.22047116305956-π/2
    2.44094232611912-1.57079632675     		φ = 0.87014600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44940843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.749206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87014600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.855693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56161 KachelY 44534 -0.44940843 0.87014600 -25.749206 49.855693
    Oben rechts KachelX + 1 56162 KachelY 44534 -0.44936050 0.87014600 -25.746460 49.855693
    Unten links KachelX 56161 KachelY + 1 44535 -0.44940843 0.87011509 -25.749206 49.853922
    Unten rechts KachelX + 1 56162 KachelY + 1 44535 -0.44936050 0.87011509 -25.746460 49.853922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87014600-0.87011509) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87014600-0.87011509) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44940843--0.44936050) × cos(0.87014600) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.644714948343031 × 6371000     		do = 196.871465397493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44940843--0.44936050) × cos(0.87011509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.644738576352241 × 6371000     		du = 196.878680494351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87014600)-sin(0.87011509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644714948343031-0.644738576352241)×R²
    abs(-0.44936050--0.44940843)×2.3628009210519e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3628009210519e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3628009210519e-05×40589641000000     		ar = 38770.1375868388m²