Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56160 / 16224
↖ ↑ ↗
← N 79.253585°
W 25.751953°		 ← 56.95 m → N 79.253585°
W 25.749206°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.253074°
W 25.751953°		 ← 56.95 m →
3 240 m²		 N 79.253074°
W 25.749206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428470611572266 y=0.123783111572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428470611572266 × 217)
    floor (0.428470611572266 × 131072)
    floor (56160.5)     		tx = 56160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123783111572266 × 217)
    floor (0.123783111572266 × 131072)
    floor (16224.5)     		ty = 16224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56160 / 16224 ti = "17/56160/16224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56160/16224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56160 ÷ 217
    56160 ÷ 131072     		x = 0.428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16224 ÷ 217
    16224 ÷ 131072     		y = 0.123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123779296875 × 2 - 1) × π
    0.75244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36386439406421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44945637} λ = -0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36386439406421))-π/2
    2×atan(10.6319582445315)-π/2
    2×1.47701617038116-π/2
    2.95403234076232-1.57079632675     		φ = 1.38323601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38323601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.253585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56160 KachelY 16224 -0.44945637 1.38323601 -25.751953 79.253585
    Oben rechts KachelX + 1 56161 KachelY 16224 -0.44940843 1.38323601 -25.749206 79.253585
    Unten links KachelX 56160 KachelY + 1 16225 -0.44945637 1.38322708 -25.751953 79.253074
    Unten rechts KachelX + 1 56161 KachelY + 1 16225 -0.44940843 1.38322708 -25.749206 79.253074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38323601-1.38322708) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dl = 56.8930300008226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38323601-1.38322708) × R
    8.93000000012911e-06 × 6371000     		dr = 56.8930300008226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44945637--0.44940843) × cos(1.38323601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186462556064473 × 6371000     		do = 56.9504641682459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44945637--0.44940843) × cos(1.38322708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186471329443306 × 6371000     		du = 56.9531437839683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38323601)-sin(1.38322708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186462556064473-0.186471329443306)×R²
    abs(-0.44940843--0.44945637)×8.77337883309348e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.77337883309348e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.77337883309348e-06×40589641000000     		ar = 3240.16069222866m²