Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56160 / 13615
↖ ↑ ↗
← N 80.510813°
W 25.751953°		 ← 50.35 m → N 80.510813°
W 25.749206°		 →
↑
50.33 m
↓
↑
50.33 m
↓
N 80.510360°
W 25.751953°		 ← 50.36 m →
2 534 m²		 N 80.510360°
W 25.749206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428470611572266 y=0.103878021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428470611572266 × 217)
    floor (0.428470611572266 × 131072)
    floor (56160.5)     		tx = 56160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103878021240234 × 217)
    floor (0.103878021240234 × 131072)
    floor (13615.5)     		ty = 13615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56160 / 13615 ti = "17/56160/13615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56160/13615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56160 ÷ 217
    56160 ÷ 131072     		x = 0.428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13615 ÷ 217
    13615 ÷ 131072     		y = 0.103874206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103874206542969 × 2 - 1) × π
    0.792251586914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.48893176517294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44945637} λ = -0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48893176517294))-π/2
    2×atan(12.0483987245)-π/2
    2×1.48798754759119-π/2
    2.97597509518237-1.57079632675     		φ = 1.40517877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40517877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.510813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56160 KachelY 13615 -0.44945637 1.40517877 -25.751953 80.510813
    Oben rechts KachelX + 1 56161 KachelY 13615 -0.44940843 1.40517877 -25.749206 80.510813
    Unten links KachelX 56160 KachelY + 1 13616 -0.44945637 1.40517087 -25.751953 80.510360
    Unten rechts KachelX + 1 56161 KachelY + 1 13616 -0.44940843 1.40517087 -25.749206 80.510360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40517877-1.40517087) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dl = 50.330899999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40517877-1.40517087) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dr = 50.330899999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44945637--0.44940843) × cos(1.40517877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164861468988735 × 6371000     		do = 50.3529361633386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44945637--0.44940843) × cos(1.40517087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164869260885774 × 6371000     		du = 50.3553160092577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40517877)-sin(1.40517087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164861468988735-0.164869260885774)×R²
    abs(-0.44940843--0.44945637)×7.79189703903338e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.79189703903338e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.79189703903338e-06×40589641000000     		ar = 2534.36848456254m²