Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5616 / 11951
↖ ↑ ↗
← S 63.381679°
W 56.601563°		 ← 1 094.70 m → S 63.381679°
W 56.579590°		 →
↑
1 094.47 m
↓
↑
1 094.47 m
↓
S 63.391522°
W 56.601563°		 ← 1 094.32 m →
1 197 914 m²		 S 63.391522°
W 56.579590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342803955078125 y=0.729461669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342803955078125 × 214)
    floor (0.342803955078125 × 16384)
    floor (5616.5)     		tx = 5616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729461669921875 × 214)
    floor (0.729461669921875 × 16384)
    floor (11951.5)     		ty = 11951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5616 / 11951 ti = "14/5616/11951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5616/11951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5616 ÷ 214
    5616 ÷ 16384     		x = 0.3427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11951 ÷ 214
    11951 ÷ 16384     		y = 0.72943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    -0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72943115234375 × 2 - 1) × π
    -0.4588623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44155844537433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98788363} λ = -0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44155844537433))-π/2
    2×atan(0.236558807282529)-π/2
    2×0.232288674089425-π/2
    0.46457734817885-1.57079632675     		φ = -1.10621898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10621898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.381679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5616 KachelY 11951 -0.98788363 -1.10621898 -56.601563 -63.381679
    Oben rechts KachelX + 1 5617 KachelY 11951 -0.98750013 -1.10621898 -56.579590 -63.381679
    Unten links KachelX 5616 KachelY + 1 11952 -0.98788363 -1.10639077 -56.601563 -63.391522
    Unten rechts KachelX + 1 5617 KachelY + 1 11952 -0.98750013 -1.10639077 -56.579590 -63.391522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10621898--1.10639077) × R
    0.000171790000000005 × 6371000     		dl = 1094.47409000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10621898--1.10639077) × R
    0.000171790000000005 × 6371000     		dr = 1094.47409000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98788363--0.98750013) × cos(-1.10621898) × R
    0.000383499999999981 × 0.448044984855221 × 6371000     		do = 1094.69867852953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98788363--0.98750013) × cos(-1.10639077) × R
    0.000383499999999981 × 0.447891396092727 × 6371000     		du = 1094.32341840829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10621898)-sin(-1.10639077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448044984855221-0.447891396092727)×R²
    abs(-0.98750013--0.98788363)×0.000153588762493106×R²
    0.000383499999999981×0.000153588762493106×6371000²
    0.000383499999999981×0.000153588762493106×40589641000000     		ar = 1197913.98671382m²