Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56159 / 44539
↖ ↑ ↗
← N 49.846839°
W 25.754700°		 ← 196.95 m → N 49.846839°
W 25.751953°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
N 49.845068°
W 25.754700°		 ← 196.96 m →
38 785 m²		 N 49.845068°
W 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428462982177734 y=0.339809417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428462982177734 × 217)
    floor (0.428462982177734 × 131072)
    floor (56159.5)     		tx = 56159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339809417724609 × 217)
    floor (0.339809417724609 × 131072)
    floor (44539.5)     		ty = 44539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56159 / 44539 ti = "17/56159/44539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56159/44539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56159 ÷ 217
    56159 ÷ 131072     		x = 0.428459167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44539 ÷ 217
    44539 ÷ 131072     		y = 0.339805603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428459167480469 × 2 - 1) × π
    -0.143081665039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44950431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339805603027344 × 2 - 1) × π
    0.320388793945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.00653108132232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44950431} λ = -0.44950431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00653108132232))-π/2
    2×atan(2.7360932487427)-π/2
    2×1.22039389189179-π/2
    2.44078778378358-1.57079632675     		φ = 0.86999146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44950431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.754700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86999146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.846839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56159 KachelY 44539 -0.44950431 0.86999146 -25.754700 49.846839
    Oben rechts KachelX + 1 56160 KachelY 44539 -0.44945637 0.86999146 -25.751953 49.846839
    Unten links KachelX 56159 KachelY + 1 44540 -0.44950431 0.86996055 -25.754700 49.845068
    Unten rechts KachelX + 1 56160 KachelY + 1 44540 -0.44945637 0.86996055 -25.751953 49.845068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86999146-0.86996055) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86999146-0.86996055) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44950431--0.44945637) × cos(0.86999146) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644833074585609 × 6371000     		do = 196.948618981884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44950431--0.44945637) × cos(0.86996055) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644856699514786 × 6371000     		du = 196.95583464336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86999146)-sin(0.86996055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644833074585609-0.644856699514786)×R²
    abs(-0.44945637--0.44950431)×2.36249291772905e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36249291772905e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36249291772905e-05×40589641000000     		ar = 38785.3313135894m²