Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56159 / 43617
↖ ↑ ↗
← N 51.452295°
W 25.754700°		 ← 190.33 m → N 51.452295°
W 25.751953°		 →
↑
190.30 m
↓
↑
190.30 m
↓
N 51.450584°
W 25.754700°		 ← 190.34 m →
36 221 m²		 N 51.450584°
W 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428462982177734 y=0.332775115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428462982177734 × 217)
    floor (0.428462982177734 × 131072)
    floor (56159.5)     		tx = 56159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332775115966797 × 217)
    floor (0.332775115966797 × 131072)
    floor (43617.5)     		ty = 43617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56159 / 43617 ti = "17/56159/43617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56159/43617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56159 ÷ 217
    56159 ÷ 131072     		x = 0.428459167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43617 ÷ 217
    43617 ÷ 131072     		y = 0.332771301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428459167480469 × 2 - 1) × π
    -0.143081665039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44950431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332771301269531 × 2 - 1) × π
    0.334457397460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.05072890277201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44950431} λ = -0.44950431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05072890277201))-π/2
    2×atan(2.85973482720299)-π/2
    2×1.23440414430677-π/2
    2.46880828861354-1.57079632675     		φ = 0.89801196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44950431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.754700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89801196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.452295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56159 KachelY 43617 -0.44950431 0.89801196 -25.754700 51.452295
    Oben rechts KachelX + 1 56160 KachelY 43617 -0.44945637 0.89801196 -25.751953 51.452295
    Unten links KachelX 56159 KachelY + 1 43618 -0.44950431 0.89798209 -25.754700 51.450584
    Unten rechts KachelX + 1 56160 KachelY + 1 43618 -0.44945637 0.89798209 -25.751953 51.450584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89801196-0.89798209) × R
    2.98700000000984e-05 × 6371000     		dl = 190.301770000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89801196-0.89798209) × R
    2.98700000000984e-05 × 6371000     		dr = 190.301770000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44950431--0.44945637) × cos(0.89801196) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62316602407919 × 6371000     		do = 190.33094404734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44950431--0.44945637) × cos(0.89798209) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623189384816852 × 6371000     		du = 190.338079017927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89801196)-sin(0.89798209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62316602407919-0.623189384816852)×R²
    abs(-0.44945637--0.44950431)×2.33607376616263e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33607376616263e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33607376616263e-05×40589641000000     		ar = 36220.9944397479m²