Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56159 / 29409
↖ ↑ ↗
← N 69.929357°
W 25.754700°		 ← 104.82 m → N 69.929357°
W 25.751953°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
N 69.928415°
W 25.754700°		 ← 104.82 m →
10 985 m²		 N 69.928415°
W 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428462982177734 y=0.224376678466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428462982177734 × 217)
    floor (0.428462982177734 × 131072)
    floor (56159.5)     		tx = 56159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224376678466797 × 217)
    floor (0.224376678466797 × 131072)
    floor (29409.5)     		ty = 29409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56159 / 29409 ti = "17/56159/29409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56159/29409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56159 ÷ 217
    56159 ÷ 131072     		x = 0.428459167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29409 ÷ 217
    29409 ÷ 131072     		y = 0.224372863769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428459167480469 × 2 - 1) × π
    -0.143081665039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44950431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224372863769531 × 2 - 1) × π
    0.551254272460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.73181637257377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44950431} λ = -0.44950431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73181637257377))-π/2
    2×atan(5.65090874797095)-π/2
    2×1.39564693060932-π/2
    2.79129386121864-1.57079632675     		φ = 1.22049753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44950431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.754700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22049753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.929357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56159 KachelY 29409 -0.44950431 1.22049753 -25.754700 69.929357
    Oben rechts KachelX + 1 56160 KachelY 29409 -0.44945637 1.22049753 -25.751953 69.929357
    Unten links KachelX 56159 KachelY + 1 29410 -0.44950431 1.22048108 -25.754700 69.928415
    Unten rechts KachelX + 1 56160 KachelY + 1 29410 -0.44945637 1.22048108 -25.751953 69.928415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22049753-1.22048108) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22049753-1.22048108) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44950431--0.44945637) × cos(1.22049753) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34317847370021 × 6371000     		do = 104.81553928201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44950431--0.44945637) × cos(1.22048108) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.3431939246488 × 6371000     		du = 104.820258399417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22049753)-sin(1.22048108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34317847370021-0.3431939246488)×R²
    abs(-0.44945637--0.44950431)×1.54509485895127e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54509485895127e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54509485895127e-05×40589641000000     		ar = 10985.2250115415m²