Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56159 / 16225
↖ ↑ ↗
← N 79.253074°
W 25.754700°		 ← 56.95 m → N 79.253074°
W 25.751953°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.252562°
W 25.754700°		 ← 56.96 m →
3 244 m²		 N 79.252562°
W 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428462982177734 y=0.123790740966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428462982177734 × 217)
    floor (0.428462982177734 × 131072)
    floor (56159.5)     		tx = 56159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123790740966797 × 217)
    floor (0.123790740966797 × 131072)
    floor (16225.5)     		ty = 16225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56159 / 16225 ti = "17/56159/16225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56159/16225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56159 ÷ 217
    56159 ÷ 131072     		x = 0.428459167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16225 ÷ 217
    16225 ÷ 131072     		y = 0.123786926269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428459167480469 × 2 - 1) × π
    -0.143081665039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44950431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123786926269531 × 2 - 1) × π
    0.752426147460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.36381645716459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44950431} λ = -0.44950431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36381645716459))-π/2
    2×atan(10.631448593632)-π/2
    2×1.47701170105759-π/2
    2.95402340211518-1.57079632675     		φ = 1.38322708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44950431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.754700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38322708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.253074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56159 KachelY 16225 -0.44950431 1.38322708 -25.754700 79.253074
    Oben rechts KachelX + 1 56160 KachelY 16225 -0.44945637 1.38322708 -25.751953 79.253074
    Unten links KachelX 56159 KachelY + 1 16226 -0.44950431 1.38321814 -25.754700 79.252562
    Unten rechts KachelX + 1 56160 KachelY + 1 16226 -0.44945637 1.38321814 -25.751953 79.252562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38322708-1.38321814) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dl = 56.9567399990207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38322708-1.38321814) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dr = 56.9567399990207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44950431--0.44945637) × cos(1.38322708) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186471329443306 × 6371000     		do = 56.9531437840342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44950431--0.44945637) × cos(1.38321814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186480112631856 × 6371000     		du = 56.9558263958967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38322708)-sin(1.38321814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186471329443306-0.186480112631856)×R²
    abs(-0.44945637--0.44950431)×8.78318855007665e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.78318855007665e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.78318855007665e-06×40589641000000     		ar = 3243.94179899945m²