Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56158 / 44530
↖ ↑ ↗
← N 49.862776°
W 25.757446°		 ← 196.84 m → N 49.862776°
W 25.754700°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
N 49.861005°
W 25.757446°		 ← 196.85 m →
38 752 m²		 N 49.861005°
W 25.754700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428455352783203 y=0.339740753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428455352783203 × 217)
    floor (0.428455352783203 × 131072)
    floor (56158.5)     		tx = 56158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339740753173828 × 217)
    floor (0.339740753173828 × 131072)
    floor (44530.5)     		ty = 44530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56158 / 44530 ti = "17/56158/44530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56158/44530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56158 ÷ 217
    56158 ÷ 131072     		x = 0.428451538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44530 ÷ 217
    44530 ÷ 131072     		y = 0.339736938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428451538085938 × 2 - 1) × π
    -0.143096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44955224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339736938476562 × 2 - 1) × π
    0.320526123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0069625134189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44955224} λ = -0.44955224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0069625134189))-π/2
    2×atan(2.73727394186558)-π/2
    2×1.22053296980116-π/2
    2.44106593960233-1.57079632675     		φ = 0.87026961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44955224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87026961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.862776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56158 KachelY 44530 -0.44955224 0.87026961 -25.757446 49.862776
    Oben rechts KachelX + 1 56159 KachelY 44530 -0.44950431 0.87026961 -25.754700 49.862776
    Unten links KachelX 56158 KachelY + 1 44531 -0.44955224 0.87023871 -25.757446 49.861005
    Unten rechts KachelX + 1 56159 KachelY + 1 44531 -0.44950431 0.87023871 -25.754700 49.861005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87026961-0.87023871) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dl = 196.863900000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87026961-0.87023871) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dr = 196.863900000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44955224--0.44950431) × cos(0.87026961) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.64462045308171 × 6371000     		do = 196.842610132443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44955224--0.44950431) × cos(0.87023871) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.644644075909274 × 6371000     		du = 196.849823647023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87026961)-sin(0.87023871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64462045308171-0.644644075909274)×R²
    abs(-0.44950431--0.44955224)×2.36228275640737e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36228275640737e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36228275640737e-05×40589641000000     		ar = 38751.9139602938m²