Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56158 / 43618
↖ ↑ ↗
← N 51.450584°
W 25.757446°		 ← 190.30 m → N 51.450584°
W 25.754700°		 →
↑
190.37 m
↓
↑
190.37 m
↓
N 51.448872°
W 25.757446°		 ← 190.31 m →
36 227 m²		 N 51.448872°
W 25.754700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428455352783203 y=0.332782745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428455352783203 × 217)
    floor (0.428455352783203 × 131072)
    floor (56158.5)     		tx = 56158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332782745361328 × 217)
    floor (0.332782745361328 × 131072)
    floor (43618.5)     		ty = 43618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56158 / 43618 ti = "17/56158/43618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56158/43618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56158 ÷ 217
    56158 ÷ 131072     		x = 0.428451538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43618 ÷ 217
    43618 ÷ 131072     		y = 0.332778930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428451538085938 × 2 - 1) × π
    -0.143096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44955224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332778930664062 × 2 - 1) × π
    0.334442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05068096587239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44955224} λ = -0.44955224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05068096587239))-π/2
    2×atan(2.85959774366734)-π/2
    2×1.23438920770324-π/2
    2.46877841540648-1.57079632675     		φ = 0.89798209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44955224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89798209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.450584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56158 KachelY 43618 -0.44955224 0.89798209 -25.757446 51.450584
    Oben rechts KachelX + 1 56159 KachelY 43618 -0.44950431 0.89798209 -25.754700 51.450584
    Unten links KachelX 56158 KachelY + 1 43619 -0.44955224 0.89795221 -25.757446 51.448872
    Unten rechts KachelX + 1 56159 KachelY + 1 43619 -0.44950431 0.89795221 -25.754700 51.448872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89798209-0.89795221) × R
    2.98799999999266e-05 × 6371000     		dl = 190.365479999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89798209-0.89795221) × R
    2.98799999999266e-05 × 6371000     		dr = 190.365479999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44955224--0.44950431) × cos(0.89798209) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.623189384816852 × 6371000     		do = 190.298375622021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44955224--0.44950431) × cos(0.89795221) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.623212752819017 × 6371000     		du = 190.305511322599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89798209)-sin(0.89795221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623189384816852-0.623212752819017)×R²
    abs(-0.44950431--0.44955224)×2.33680021648475e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33680021648475e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33680021648475e-05×40589641000000     		ar = 36226.9208166295m²