Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56158 / 13608
↖ ↑ ↗
← N 80.513982°
W 25.757446°		 ← 50.33 m → N 80.513982°
W 25.754700°		 →
↑
50.33 m
↓
↑
50.33 m
↓
N 80.513529°
W 25.757446°		 ← 50.33 m →
2 533 m²		 N 80.513529°
W 25.754700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428455352783203 y=0.103824615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428455352783203 × 217)
    floor (0.428455352783203 × 131072)
    floor (56158.5)     		tx = 56158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103824615478516 × 217)
    floor (0.103824615478516 × 131072)
    floor (13608.5)     		ty = 13608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56158 / 13608 ti = "17/56158/13608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56158/13608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56158 ÷ 217
    56158 ÷ 131072     		x = 0.428451538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13608 ÷ 217
    13608 ÷ 131072     		y = 0.10382080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428451538085938 × 2 - 1) × π
    -0.143096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44955224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10382080078125 × 2 - 1) × π
    0.7923583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48926732347028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44955224} λ = -0.44955224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48926732347028))-π/2
    2×atan(12.0524423430586)-π/2
    2×1.48801520333154-π/2
    2.97603040666308-1.57079632675     		φ = 1.40523408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44955224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40523408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.513982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56158 KachelY 13608 -0.44955224 1.40523408 -25.757446 80.513982
    Oben rechts KachelX + 1 56159 KachelY 13608 -0.44950431 1.40523408 -25.754700 80.513982
    Unten links KachelX 56158 KachelY + 1 13609 -0.44955224 1.40522618 -25.757446 80.513529
    Unten rechts KachelX + 1 56159 KachelY + 1 13609 -0.44950431 1.40522618 -25.754700 80.513529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40523408-1.40522618) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dl = 50.330899999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40523408-1.40522618) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dr = 50.330899999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44955224--0.44950431) × cos(1.40523408) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.164806915558138 × 6371000     		do = 50.3257742928442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44955224--0.44950431) × cos(1.40522618) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.164814707527203 × 6371000     		du = 50.3281536643356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40523408)-sin(1.40522618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164806915558138-0.164814707527203)×R²
    abs(-0.44950431--0.44955224)×7.79196906486312e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.79196906486312e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.79196906486312e-06×40589641000000     		ar = 2533.00139124237m²