Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56157 / 16301
↖ ↑ ↗
← N 79.214079°
W 25.760193°		 ← 57.16 m → N 79.214079°
W 25.757446°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
N 79.213565°
W 25.760193°		 ← 57.16 m →
3 266 m²		 N 79.213565°
W 25.757446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428447723388672 y=0.124370574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428447723388672 × 217)
    floor (0.428447723388672 × 131072)
    floor (56157.5)     		tx = 56157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124370574951172 × 217)
    floor (0.124370574951172 × 131072)
    floor (16301.5)     		ty = 16301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56157 / 16301 ti = "17/56157/16301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56157/16301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56157 ÷ 217
    56157 ÷ 131072     		x = 0.428443908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16301 ÷ 217
    16301 ÷ 131072     		y = 0.124366760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428443908691406 × 2 - 1) × π
    -0.143112182617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44960018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124366760253906 × 2 - 1) × π
    0.751266479492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.36017325279346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44960018} λ = -0.44960018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36017325279346))-π/2
    2×atan(10.5927865233194)-π/2
    2×1.47667141586537-π/2
    2.95334283173074-1.57079632675     		φ = 1.38254650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44960018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.760193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38254650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.214079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56157 KachelY 16301 -0.44960018 1.38254650 -25.760193 79.214079
    Oben rechts KachelX + 1 56158 KachelY 16301 -0.44955224 1.38254650 -25.757446 79.214079
    Unten links KachelX 56157 KachelY + 1 16302 -0.44960018 1.38253753 -25.760193 79.213565
    Unten rechts KachelX + 1 56158 KachelY + 1 16302 -0.44955224 1.38253753 -25.757446 79.213565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38254650-1.38253753) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dl = 57.1478699992738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38254650-1.38253753) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dr = 57.1478699992738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44960018--0.44955224) × cos(1.38254650) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.187139929106959 × 6371000     		do = 57.1573513310691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44960018--0.44955224) × cos(1.38253753) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.187148740628832 × 6371000     		du = 57.1600425966579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38254650)-sin(1.38253753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187139929106959-0.187148740628832)×R²
    abs(-0.44955224--0.44960018)×8.81152187365286e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.81152187365286e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.81152187365286e-06×40589641000000     		ar = 3266.49778334071m²