Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56156 / 44540
↖ ↑ ↗
← N 49.845068°
W 25.762940°		 ← 196.96 m → N 49.845068°
W 25.760193°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
N 49.843296°
W 25.762940°		 ← 196.96 m →
38 799 m²		 N 49.843296°
W 25.760193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428440093994141 y=0.339817047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428440093994141 × 217)
    floor (0.428440093994141 × 131072)
    floor (56156.5)     		tx = 56156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339817047119141 × 217)
    floor (0.339817047119141 × 131072)
    floor (44540.5)     		ty = 44540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56156 / 44540 ti = "17/56156/44540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56156/44540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56156 ÷ 217
    56156 ÷ 131072     		x = 0.428436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44540 ÷ 217
    44540 ÷ 131072     		y = 0.339813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.14312744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44964812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339813232421875 × 2 - 1) × π
    0.32037353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0064831444227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44964812} λ = -0.44964812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0064831444227))-π/2
    2×atan(2.73596209205893)-π/2
    2×1.22037843595941-π/2
    2.44075687191882-1.57079632675     		φ = 0.86996055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44964812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.762940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86996055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.845068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56156 KachelY 44540 -0.44964812 0.86996055 -25.762940 49.845068
    Oben rechts KachelX + 1 56157 KachelY 44540 -0.44960018 0.86996055 -25.760193 49.845068
    Unten links KachelX 56156 KachelY + 1 44541 -0.44964812 0.86992963 -25.762940 49.843296
    Unten rechts KachelX + 1 56157 KachelY + 1 44541 -0.44960018 0.86992963 -25.760193 49.843296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86996055-0.86992963) × R
    3.09200000000454e-05 × 6371000     		dl = 196.991320000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86996055-0.86992963) × R
    3.09200000000454e-05 × 6371000     		dr = 196.991320000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44964812--0.44960018) × cos(0.86996055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644856699514786 × 6371000     		do = 196.955834643132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44964812--0.44960018) × cos(0.86992963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644880331470685 × 6371000     		du = 196.96305245075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86996055)-sin(0.86992963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644856699514786-0.644880331470685)×R²
    abs(-0.44960018--0.44964812)×2.36319558987175e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36319558987175e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36319558987175e-05×40589641000000     		ar = 38799.3007738574m²