Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56155 / 14169
↖ ↑ ↗
← N 80.256645°
W 25.765686°		 ← 51.69 m → N 80.256645°
W 25.762940°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.256180°
W 25.765686°		 ← 51.69 m →
2 671 m²		 N 80.256180°
W 25.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428432464599609 y=0.108104705810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428432464599609 × 217)
    floor (0.428432464599609 × 131072)
    floor (56155.5)     		tx = 56155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108104705810547 × 217)
    floor (0.108104705810547 × 131072)
    floor (14169.5)     		ty = 14169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56155 / 14169 ti = "17/56155/14169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56155/14169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56155 ÷ 217
    56155 ÷ 131072     		x = 0.428428649902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14169 ÷ 217
    14169 ÷ 131072     		y = 0.108100891113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428428649902344 × 2 - 1) × π
    -0.143142700195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44969606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108100891113281 × 2 - 1) × π
    0.783798217773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.46237472278342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44969606} λ = -0.44969606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46237472278342))-π/2
    2×atan(11.7326402522812)-π/2
    2×1.48576951582909-π/2
    2.97153903165818-1.57079632675     		φ = 1.40074270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44969606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.765686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40074270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.256645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56155 KachelY 14169 -0.44969606 1.40074270 -25.765686 80.256645
    Oben rechts KachelX + 1 56156 KachelY 14169 -0.44964812 1.40074270 -25.762940 80.256645
    Unten links KachelX 56155 KachelY + 1 14170 -0.44969606 1.40073459 -25.765686 80.256180
    Unten rechts KachelX + 1 56156 KachelY + 1 14170 -0.44964812 1.40073459 -25.762940 80.256180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40074270-1.40073459) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40074270-1.40073459) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44969606--0.44964812) × cos(1.40074270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169235202575849 × 6371000     		do = 51.6887869808045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44969606--0.44964812) × cos(1.40073459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169243195589152 × 6371000     		du = 51.6912282528074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40074270)-sin(1.40073459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169235202575849-0.169243195589152)×R²
    abs(-0.44964812--0.44969606)×7.99301330292601e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.99301330292601e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.99301330292601e-06×40589641000000     		ar = 2670.76118235317m²