Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56154 / 44542
↖ ↑ ↗
← N 49.841525°
W 25.768432°		 ← 196.93 m → N 49.841525°
W 25.765686°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
N 49.839754°
W 25.768432°		 ← 196.94 m →
38 794 m²		 N 49.839754°
W 25.765686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428424835205078 y=0.339832305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428424835205078 × 217)
    floor (0.428424835205078 × 131072)
    floor (56154.5)     		tx = 56154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339832305908203 × 217)
    floor (0.339832305908203 × 131072)
    floor (44542.5)     		ty = 44542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56154 / 44542 ti = "17/56154/44542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56154/44542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56154 ÷ 217
    56154 ÷ 131072     		x = 0.428421020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44542 ÷ 217
    44542 ÷ 131072     		y = 0.339828491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428421020507812 × 2 - 1) × π
    -0.143157958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44974399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339828491210938 × 2 - 1) × π
    0.320343017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00638727062346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44974399} λ = -0.44974399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00638727062346))-π/2
    2×atan(2.73569979755237)-π/2
    2×1.22034752239577-π/2
    2.44069504479154-1.57079632675     		φ = 0.86989872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44974399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.768432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86989872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.841525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56154 KachelY 44542 -0.44974399 0.86989872 -25.768432 49.841525
    Oben rechts KachelX + 1 56155 KachelY 44542 -0.44969606 0.86989872 -25.765686 49.841525
    Unten links KachelX 56154 KachelY + 1 44543 -0.44974399 0.86986780 -25.768432 49.839754
    Unten rechts KachelX + 1 56155 KachelY + 1 44543 -0.44969606 0.86986780 -25.765686 49.839754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86989872-0.86986780) × R
    3.09200000000454e-05 × 6371000     		dl = 196.991320000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86989872-0.86986780) × R
    3.09200000000454e-05 × 6371000     		dr = 196.991320000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44974399--0.44969606) × cos(0.86989872) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.644903955167412 × 6371000     		do = 196.929180904842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44974399--0.44969606) × cos(0.86986780) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.644927585890416 × 6371000     		du = 196.936396830389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86989872)-sin(0.86986780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644903955167412-0.644927585890416)×R²
    abs(-0.44969606--0.44974399)×2.36307230043753e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36307230043753e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36307230043753e-05×40589641000000     		ar = 38794.0500335038m²