Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56153 / 29406
↖ ↑ ↗
← N 69.932185°
W 25.771179°		 ← 104.80 m → N 69.932185°
W 25.768432°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
N 69.931242°
W 25.771179°		 ← 104.81 m →
10 984 m²		 N 69.931242°
W 25.768432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428417205810547 y=0.224353790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428417205810547 × 217)
    floor (0.428417205810547 × 131072)
    floor (56153.5)     		tx = 56153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224353790283203 × 217)
    floor (0.224353790283203 × 131072)
    floor (29406.5)     		ty = 29406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56153 / 29406 ti = "17/56153/29406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56153/29406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56153 ÷ 217
    56153 ÷ 131072     		x = 0.428413391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29406 ÷ 217
    29406 ÷ 131072     		y = 0.224349975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428413391113281 × 2 - 1) × π
    -0.143173217773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44979193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224349975585938 × 2 - 1) × π
    0.551300048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73196018327263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44979193} λ = -0.44979193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73196018327263))-π/2
    2×atan(5.65172146754468)-π/2
    2×1.39567160531055-π/2
    2.79134321062109-1.57079632675     		φ = 1.22054688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44979193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.771179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22054688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.932185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56153 KachelY 29406 -0.44979193 1.22054688 -25.771179 69.932185
    Oben rechts KachelX + 1 56154 KachelY 29406 -0.44974399 1.22054688 -25.768432 69.932185
    Unten links KachelX 56153 KachelY + 1 29407 -0.44979193 1.22053043 -25.771179 69.931242
    Unten rechts KachelX + 1 56154 KachelY + 1 29407 -0.44974399 1.22053043 -25.768432 69.931242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22054688-1.22053043) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22054688-1.22053043) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44979193--0.44974399) × cos(1.22054688) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343132120297269 × 6371000     		do = 104.801381759615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44979193--0.44974399) × cos(1.22053043) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343147571524441 × 6371000     		du = 104.806100962108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22054688)-sin(1.22053043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343132120297269-0.343147571524441)×R²
    abs(-0.44974399--0.44979193)×1.54512271718366e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54512271718366e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54512271718366e-05×40589641000000     		ar = 10983.7412659307m²