Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56153 / 14297
↖ ↑ ↗
← N 80.196968°
W 25.771179°		 ← 52 m → N 80.196968°
W 25.768432°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.196500°
W 25.771179°		 ← 52 m →
2 704 m²		 N 80.196500°
W 25.768432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428417205810547 y=0.109081268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428417205810547 × 217)
    floor (0.428417205810547 × 131072)
    floor (56153.5)     		tx = 56153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109081268310547 × 217)
    floor (0.109081268310547 × 131072)
    floor (14297.5)     		ty = 14297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56153 / 14297 ti = "17/56153/14297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56153/14297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56153 ÷ 217
    56153 ÷ 131072     		x = 0.428413391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14297 ÷ 217
    14297 ÷ 131072     		y = 0.109077453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428413391113281 × 2 - 1) × π
    -0.143173217773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44979193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109077453613281 × 2 - 1) × π
    0.781845092773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.45623879963206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44979193} λ = -0.44979193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45623879963206))-π/2
    2×atan(11.6608700866172)-π/2
    2×1.48524873573879-π/2
    2.97049747147758-1.57079632675     		φ = 1.39970114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44979193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.771179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39970114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.196968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56153 KachelY 14297 -0.44979193 1.39970114 -25.771179 80.196968
    Oben rechts KachelX + 1 56154 KachelY 14297 -0.44974399 1.39970114 -25.768432 80.196968
    Unten links KachelX 56153 KachelY + 1 14298 -0.44979193 1.39969298 -25.771179 80.196500
    Unten rechts KachelX + 1 56154 KachelY + 1 14298 -0.44974399 1.39969298 -25.768432 80.196500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39970114-1.39969298) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dl = 51.9873599995144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39970114-1.39969298) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dr = 51.9873599995144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44979193--0.44974399) × cos(1.39970114) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170261646811658 × 6371000     		do = 52.0022894710955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44979193--0.44974399) × cos(1.39969298) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170269687660929 × 6371000     		du = 52.0047453534341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39970114)-sin(1.39969298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170261646811658-0.170269687660929)×R²
    abs(-0.44974399--0.44979193)×8.04084927047422e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.04084927047422e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.04084927047422e-06×40589641000000     		ar = 2703.52558100448m²