Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56153 / 14295
↖ ↑ ↗
← N 80.197904°
W 25.771179°		 ← 52 m → N 80.197904°
W 25.768432°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.197436°
W 25.771179°		 ← 52 m →
2 703 m²		 N 80.197436°
W 25.768432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428417205810547 y=0.109066009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428417205810547 × 217)
    floor (0.428417205810547 × 131072)
    floor (56153.5)     		tx = 56153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109066009521484 × 217)
    floor (0.109066009521484 × 131072)
    floor (14295.5)     		ty = 14295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56153 / 14295 ti = "17/56153/14295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56153/14295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56153 ÷ 217
    56153 ÷ 131072     		x = 0.428413391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14295 ÷ 217
    14295 ÷ 131072     		y = 0.109062194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428413391113281 × 2 - 1) × π
    -0.143173217773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44979193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109062194824219 × 2 - 1) × π
    0.781875610351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.4563346734313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44979193} λ = -0.44979193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4563346734313))-π/2
    2×atan(11.6619881121287)-π/2
    2×1.48525689716852-π/2
    2.97051379433703-1.57079632675     		φ = 1.39971747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44979193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.771179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39971747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.197904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56153 KachelY 14295 -0.44979193 1.39971747 -25.771179 80.197904
    Oben rechts KachelX + 1 56154 KachelY 14295 -0.44974399 1.39971747 -25.768432 80.197904
    Unten links KachelX 56153 KachelY + 1 14296 -0.44979193 1.39970931 -25.771179 80.197436
    Unten rechts KachelX + 1 56154 KachelY + 1 14296 -0.44974399 1.39970931 -25.768432 80.197436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39971747-1.39970931) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dl = 51.9873599995144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39971747-1.39970931) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dr = 51.9873599995144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44979193--0.44974399) × cos(1.39971747) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.17024555522509 × 6371000     		do = 51.9973746863601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44979193--0.44974399) × cos(1.39970931) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170253596097048 × 6371000     		du = 51.999830575628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39971747)-sin(1.39970931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17024555522509-0.170253596097048)×R²
    abs(-0.44974399--0.44979193)×8.04087195779846e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.04087195779846e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.04087195779846e-06×40589641000000     		ar = 2703.27007441457m²