Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56152 / 19014
↖ ↑ ↗
← N 77.726780°
W 25.773926°		 ← 64.93 m → N 77.726780°
W 25.771179°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.726196°
W 25.773926°		 ← 64.93 m →
4 215 m²		 N 77.726196°
W 25.771179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428409576416016 y=0.145069122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428409576416016 × 217)
    floor (0.428409576416016 × 131072)
    floor (56152.5)     		tx = 56152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145069122314453 × 217)
    floor (0.145069122314453 × 131072)
    floor (19014.5)     		ty = 19014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56152 / 19014 ti = "17/56152/19014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56152/19014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56152 ÷ 217
    56152 ÷ 131072     		x = 0.42840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19014 ÷ 217
    19014 ÷ 131072     		y = 0.145065307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44983987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145065307617188 × 2 - 1) × π
    0.709869384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23012044412425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44983987} λ = -0.44983987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23012044412425))-π/2
    2×atan(9.30098626116749)-π/2
    2×1.4636922751055-π/2
    2.92738455021099-1.57079632675     		φ = 1.35658822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44983987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.773926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35658822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.726780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56152 KachelY 19014 -0.44983987 1.35658822 -25.773926 77.726780
    Oben rechts KachelX + 1 56153 KachelY 19014 -0.44979193 1.35658822 -25.771179 77.726780
    Unten links KachelX 56152 KachelY + 1 19015 -0.44983987 1.35657803 -25.773926 77.726196
    Unten rechts KachelX + 1 56153 KachelY + 1 19015 -0.44979193 1.35657803 -25.771179 77.726196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35658822-1.35657803) × R
    1.0189999999799e-05 × 6371000     		dl = 64.9204899987192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35658822-1.35657803) × R
    1.0189999999799e-05 × 6371000     		dr = 64.9204899987192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44983987--0.44979193) × cos(1.35658822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21257370051899 × 6371000     		do = 64.9254797855084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44983987--0.44979193) × cos(1.35657803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212583657615873 × 6371000     		du = 64.928520939192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35658822)-sin(1.35657803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21257370051899-0.212583657615873)×R²
    abs(-0.44979193--0.44983987)×9.9570968825069e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.9570968825069e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.9570968825069e-06×40589641000000     		ar = 4215.09267765949m²