Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56150 / 19145
↖ ↑ ↗
← N 77.650060°
W 25.779419°		 ← 65.33 m → N 77.650060°
W 25.776672°		 →
↑
65.30 m
↓
↑
65.30 m
↓
N 77.649473°
W 25.779419°		 ← 65.33 m →
4 266 m²		 N 77.649473°
W 25.776672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428394317626953 y=0.146068572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428394317626953 × 217)
    floor (0.428394317626953 × 131072)
    floor (56150.5)     		tx = 56150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146068572998047 × 217)
    floor (0.146068572998047 × 131072)
    floor (19145.5)     		ty = 19145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56150 / 19145 ti = "17/56150/19145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56150/19145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56150 ÷ 217
    56150 ÷ 131072     		x = 0.428390502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19145 ÷ 217
    19145 ÷ 131072     		y = 0.146064758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428390502929688 × 2 - 1) × π
    -0.143218994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44993574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146064758300781 × 2 - 1) × π
    0.707870483398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.22384071027402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44993574} λ = -0.44993574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22384071027402))-π/2
    2×atan(9.24276155208212)-π/2
    2×1.46302277017277-π/2
    2.92604554034554-1.57079632675     		φ = 1.35524921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44993574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.779419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35524921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.650060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56150 KachelY 19145 -0.44993574 1.35524921 -25.779419 77.650060
    Oben rechts KachelX + 1 56151 KachelY 19145 -0.44988780 1.35524921 -25.776672 77.650060
    Unten links KachelX 56150 KachelY + 1 19146 -0.44993574 1.35523896 -25.779419 77.649473
    Unten rechts KachelX + 1 56151 KachelY + 1 19146 -0.44988780 1.35523896 -25.776672 77.649473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35524921-1.35523896) × R
    1.02499999998784e-05 × 6371000     		dl = 65.3027499992254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35524921-1.35523896) × R
    1.02499999998784e-05 × 6371000     		dr = 65.3027499992254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44993574--0.44988780) × cos(1.35524921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213881916536237 × 6371000     		do = 65.3250426306557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44993574--0.44988780) × cos(1.35523896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213891929335102 × 6371000     		du = 65.3281007971585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35524921)-sin(1.35523896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213881916536237-0.213891929335102)×R²
    abs(-0.44988780--0.44993574)×1.00127988650056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00127988650056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00127988650056e-05×40589641000000     		ar = 4266.00478080319m²