Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5615 / 11845
↖ ↑ ↗
← S 62.319003°
W 56.623535°		 ← 1 134.99 m → S 62.319003°
W 56.601563°		 →
↑
1 134.80 m
↓
↑
1 134.80 m
↓
S 62.329209°
W 56.623535°		 ← 1 134.61 m →
1 287 772 m²		 S 62.329209°
W 56.601563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342742919921875 y=0.722991943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342742919921875 × 214)
    floor (0.342742919921875 × 16384)
    floor (5615.5)     		tx = 5615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722991943359375 × 214)
    floor (0.722991943359375 × 16384)
    floor (11845.5)     		ty = 11845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5615 / 11845 ti = "14/5615/11845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5615/11845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5615 ÷ 214
    5615 ÷ 16384     		x = 0.34271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11845 ÷ 214
    11845 ÷ 16384     		y = 0.72296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.3145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98826712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.4459228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40090795449652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98826712} λ = -0.98826712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40090795449652))-π/2
    2×atan(0.246373166733582)-π/2
    2×0.241562270818869-π/2
    0.483124541637739-1.57079632675     		φ = -1.08767179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98826712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.623535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08767179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.319003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5615 KachelY 11845 -0.98826712 -1.08767179 -56.623535 -62.319003
    Oben rechts KachelX + 1 5616 KachelY 11845 -0.98788363 -1.08767179 -56.601563 -62.319003
    Unten links KachelX 5615 KachelY + 1 11846 -0.98826712 -1.08784991 -56.623535 -62.329209
    Unten rechts KachelX + 1 5616 KachelY + 1 11846 -0.98788363 -1.08784991 -56.601563 -62.329209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08767179--1.08784991) × R
    0.00017812000000017 × 6371000     		dl = 1134.80252000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08767179--1.08784991) × R
    0.00017812000000017 × 6371000     		dr = 1134.80252000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98826712--0.98788363) × cos(-1.08767179) × R
    0.000383490000000042 × 0.464548365194198 × 6371000     		do = 1134.99143651291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98826712--0.98788363) × cos(-1.08784991) × R
    0.000383490000000042 × 0.464390624060615 × 6371000     		du = 1134.60604104235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08767179)-sin(-1.08784991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464548365194198-0.464390624060615)×R²
    abs(-0.98788363--0.98826712)×0.0001577411335833×R²
    0.000383490000000042×0.0001577411335833×6371000²
    0.000383490000000042×0.0001577411335833×40589641000000     		ar = 1287772.47186383m²