Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56148 / 86724
↖ ↑ ↗
← S 50.183933°
W 25.784912°		 ← 195.53 m → S 50.183933°
W 25.782166°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
S 50.185692°
W 25.784912°		 ← 195.52 m →
38 243 m²		 S 50.185692°
W 25.782166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428379058837891 y=0.661655426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428379058837891 × 217)
    floor (0.428379058837891 × 131072)
    floor (56148.5)     		tx = 56148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661655426025391 × 217)
    floor (0.661655426025391 × 131072)
    floor (86724.5)     		ty = 86724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56148 / 86724 ti = "17/56148/86724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56148/86724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56148 ÷ 217
    56148 ÷ 131072     		x = 0.428375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86724 ÷ 217
    86724 ÷ 131072     		y = 0.661651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.14324951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45003161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.32330322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01568702914975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45003161} λ = -0.45003161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01568702914975))-π/2
    2×atan(0.362153534308286)-π/2
    2×0.347460728151267-π/2
    0.694921456302535-1.57079632675     		φ = -0.87587487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45003161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.784912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87587487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.183933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56148 KachelY 86724 -0.45003161 -0.87587487 -25.784912 -50.183933
    Oben rechts KachelX + 1 56149 KachelY 86724 -0.44998368 -0.87587487 -25.782166 -50.183933
    Unten links KachelX 56148 KachelY + 1 86725 -0.45003161 -0.87590557 -25.784912 -50.185692
    Unten rechts KachelX + 1 56149 KachelY + 1 86725 -0.44998368 -0.87590557 -25.782166 -50.185692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87587487--0.87590557) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dl = 195.589700000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87587487--0.87590557) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dr = 195.589700000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45003161--0.44998368) × cos(-0.87587487) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640325112156499 × 6371000     		do = 195.530976108206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45003161--0.44998368) × cos(-0.87590557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640301531062034 × 6371000     		du = 195.52377533733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87587487)-sin(-0.87590557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640325112156499-0.640301531062034)×R²
    abs(-0.44998368--0.45003161)×2.35810944648751e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35810944648751e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35810944648751e-05×40589641000000     		ar = 38243.1407623774m²