Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56148 / 29388
↖ ↑ ↗
← N 69.949142°
W 25.784912°		 ← 104.69 m → N 69.949142°
W 25.782166°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
N 69.948200°
W 25.784912°		 ← 104.70 m →
10 966 m²		 N 69.948200°
W 25.782166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428379058837891 y=0.224216461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428379058837891 × 217)
    floor (0.428379058837891 × 131072)
    floor (56148.5)     		tx = 56148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224216461181641 × 217)
    floor (0.224216461181641 × 131072)
    floor (29388.5)     		ty = 29388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56148 / 29388 ti = "17/56148/29388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56148/29388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56148 ÷ 217
    56148 ÷ 131072     		x = 0.428375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29388 ÷ 217
    29388 ÷ 131072     		y = 0.224212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.14324951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45003161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224212646484375 × 2 - 1) × π
    0.55157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73282304746579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45003161} λ = -0.45003161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73282304746579))-π/2
    2×atan(5.65660024018515)-π/2
    2×1.3958195835423-π/2
    2.79163916708461-1.57079632675     		φ = 1.22084284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45003161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.784912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22084284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.949142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56148 KachelY 29388 -0.45003161 1.22084284 -25.784912 69.949142
    Oben rechts KachelX + 1 56149 KachelY 29388 -0.44998368 1.22084284 -25.782166 69.949142
    Unten links KachelX 56148 KachelY + 1 29389 -0.45003161 1.22082640 -25.784912 69.948200
    Unten rechts KachelX + 1 56149 KachelY + 1 29389 -0.44998368 1.22082640 -25.782166 69.948200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22084284-1.22082640) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22084284-1.22082640) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45003161--0.44998368) × cos(1.22084284) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34285411384888 × 6371000     		do = 104.694628198809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45003161--0.44998368) × cos(1.22082640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342869557352136 × 6371000     		du = 104.699344058314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22084284)-sin(1.22082640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34285411384888-0.342869557352136)×R²
    abs(-0.44998368--0.45003161)×1.54435032556632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54435032556632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54435032556632e-05×40589641000000     		ar = 10965.8827575161m²