Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56148 / 19156
↖ ↑ ↗
← N 77.643596°
W 25.784912°		 ← 65.35 m → N 77.643596°
W 25.782166°		 →
↑
65.37 m
↓
↑
65.37 m
↓
N 77.643009°
W 25.784912°		 ← 65.35 m →
4 271 m²		 N 77.643009°
W 25.782166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428379058837891 y=0.146152496337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428379058837891 × 217)
    floor (0.428379058837891 × 131072)
    floor (56148.5)     		tx = 56148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146152496337891 × 217)
    floor (0.146152496337891 × 131072)
    floor (19156.5)     		ty = 19156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56148 / 19156 ti = "17/56148/19156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56148/19156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56148 ÷ 217
    56148 ÷ 131072     		x = 0.428375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19156 ÷ 217
    19156 ÷ 131072     		y = 0.146148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.14324951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45003161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146148681640625 × 2 - 1) × π
    0.70770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2233134043782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45003161} λ = -0.45003161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2233134043782))-π/2
    2×atan(9.23788907417811)-π/2
    2×1.46296636505001-π/2
    2.92593273010001-1.57079632675     		φ = 1.35513640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45003161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.784912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35513640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.643596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56148 KachelY 19156 -0.45003161 1.35513640 -25.784912 77.643596
    Oben rechts KachelX + 1 56149 KachelY 19156 -0.44998368 1.35513640 -25.782166 77.643596
    Unten links KachelX 56148 KachelY + 1 19157 -0.45003161 1.35512614 -25.784912 77.643009
    Unten rechts KachelX + 1 56149 KachelY + 1 19157 -0.44998368 1.35512614 -25.782166 77.643009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35513640-1.35512614) × R
    1.02599999998176e-05 × 6371000     		dl = 65.3664599988382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35513640-1.35512614) × R
    1.02599999998176e-05 × 6371000     		dr = 65.3664599988382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45003161--0.44998368) × cos(1.35513640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.213992114697743 × 6371000     		do = 65.3450665481356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45003161--0.44998368) × cos(1.35512614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214002137017558 × 6371000     		du = 65.3481269840597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35513640)-sin(1.35512614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213992114697743-0.214002137017558)×R²
    abs(-0.44998368--0.45003161)×1.00223198152005e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00223198152005e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00223198152005e-05×40589641000000     		ar = 4271.47570363034m²